两个张量T和S先并乘后缩并的运算称为点积,一般是取前一个基张量的最后一个基矢量和后一个基张量的第一个基矢量进行点积,否则须指明哪两个基矢量进行点积。两个张量点积后得到一个新张量,其阶数比两个张量阶数之和低两阶。...[继续阅读]

    上面的讨论都是关于二阶对称张量的主值和主轴,但在非主轴状态下,二阶对称张量的分量可以表示为法分量和剪分量。对于二阶对称张量N,若单位矢量n及t互相正交,那么n·N成为一个矢量,再将其向t方向投影,得到沿t方向的剪分量(n·...[继续阅读]

    梯度、散度和旋度的概念可以推广到任意阶张量。注意▽是一个特殊矢量,须定义张量的左梯度和右梯度。定义张量的左梯度为▽T,张量的右梯度为T▽。譬如,一个二阶张量Tij的左梯度为三阶张量,实体记法为:二阶张量的右梯度为:一般...[继续阅读]

    把上述概念推广到任意二阶张量,不难找到二阶张量的主轴方向和特征值。可以这样表达:对于任意二阶张量aij,找到一个矢量bj,使之经过该二阶张量点乘后所得矢量ci与原来矢量bj平行,这里可把aij看作变换或映射,它把一个矢量变换成...[继续阅读]

    通过变形的几何分析可知,弹性体的拉压变形可分解为纯粹的形变和纯粹的体变。对于纯粹的形变,以偏应变来描述,对应的应力为偏应力s,其线性本构关系为:s=2Ge (6.3.1)其中G为剪切模量。体积应变对应静水压力P,其线性本构关系为:P=...[继续阅读]

    根据式(5.5.14),不难得到三次转动的角加速度张量的合成:上式右端前3项表示把三次转动的角加速度张量在第三次转动的参考基上进行求和,右端后3项表示每两次转动之间的角速度张量的乘积耦合项。第三次与第二次转动的角速度张量...[继续阅读]

    二阶张量的分量形成4个不同的矩阵,它们也具有不同的行列式值。根据四个矩阵之间的关系,其行列式的值满足:det[Tij]=g det[T·ji]=g det[Ti·j]=g2det[Tij] (3.1.12)如果不加说明,也定义二阶张量T的矩阵[Ti·j]的行列式为二阶张量T的行列式:det ...[继续阅读]

    任何非对称的二阶张量T可以唯一地分解为对称和反对称部分之和:T=N+Ω (3.7.1)其中N为对称张量,Ω为反对称张量,存在:一般的二阶张量T具有9个独立的分量,而二阶对称张量有6个独立的分量,二阶反对称张量有3个独立的分量。在小变形连...[继续阅读]

    1.在小变形情况下,u代表固体位移,定义位移的散度为体积应变,给出圆柱坐标系下的体积应变。2.曲线坐标系下哈密尔顿微分算子的梯度为▽▽,试给出其实体展开式。提示:▽▽=gi(▽jgj),i=▽j;igigj=(▽j,i-▽kΓkji)gigj=((&8706;2)/(&8706;xi&870...[继续阅读]

    现在利用坐标变换的方法确定圆柱坐标系的基矢量(图2.7)。笛卡尔坐标系视为旧坐标系,x1=x,x2=y,x3=z;圆柱坐标系视为新坐标系,x1′=r,x2′=θ,x3′=z。圆柱坐标与笛卡尔坐标的关系为:x=r cos θ,y=r sin θ,z=z (2.2.15)以及r=(x2+y2)1/2,θ=arctan y/x,z...[继续阅读]