首先讨论张量分量乘积的协变导数的运算法则。用两个矢量ui和vj点乘一个二阶张量Tij,得到一个标量:φ=Tijuivj (4.3.14)把它对xk求导,得到:φ,k=Tij,kuivj+Tijui,kvj+Tijuivj,k (4.3.15)把上式中的偏导数都用前面所定义的协变导数代替,并注意到标量...[继续阅读]

    1.已知任意二阶张量A和B,令T=A·B,S=B·A,证明T和S具有相同的主不变量。2.已知T为二阶张量,u、v、w为3个矢量,证明下面3个矢量混合积的变换关系:[T·u v w]+[u T·v w]+[u v T·w]=I1[u v w]。3.已知T为二阶张量,u、v、w为3个矢量,证明下面3个矢量混...[继续阅读]

    我们已经熟悉vi;j是二阶张量的协变张量,为方便起见,现令:vi;j=vi,j-vmΓmij=Aij (4.3.23)应用二阶张量协变导数的展开式(4.3.4),形成对xk的协变导数,于是有:这是矢量的协变分量连续两次对空间坐标的协变导数。在数学分析中已知,函数对空间...[继续阅读]

    现在采用坐标变换的方法确定球坐标系中度量张量的协变分量和逆变分量。注意到笛卡尔坐标系中的度量张量式(2.4.12),令笛卡尔坐标系为旧坐标系而球坐标系为新坐标系,二阶张量协变分量的坐标转换关系以及利用协变转换系数(2....[继续阅读]

    把正交张量满足的条件(3.6.2)写成混变分量形式:RT·R=R·ijgigj·Rk·lgkgl=R·ijRj·kgigk=δikgigk (3.6.7)则有:R·ijRj·k=gimRl·mgjlRj·k=δik (3.6.8)把上式表达为矩阵形式:[gij][Rk·l]T[gmn][Rp·q]=[δij] (3.6.9)显然,在一般的斜角直线坐标系中,正交张量的矩阵...[继续阅读]

    在定点运动过程中,通过具体的转轴和绕轴转角,刚体由初始状态运动到当前状态,所以转轴和转角的表达是基本问题。转轴和转角都是瞬态量,它们都是时间的连续函数,都依赖于正交张量。对于刚体定点转动,规定轴-角表达满足右手法...[继续阅读]

    保持基张量不变,如果对调张量分量指标的顺序而张量分量保持不变,则称该张量关于这两个指标具有对称性。保持基张量不变,如果对调张量指标的顺序而得到新张量的分量与原张量的对应分量差一个负号,则称该张量关于这两个指标...[继续阅读]

    令二阶张量为T=Tijgigj,现在求其逆变分量的协变导数表达式。二阶张量对坐标的偏导数为:为获得公因子gigj,推导上式时交换了哑标。观察上式,定义二阶张量的分量对坐标的协变导数为:Tij;k=Tij,k+TljΓikl+TilΓjkl (4.3.2)上式中Tij;k为二阶张...[继续阅读]

    当把协变导数用到度量张量和置换张量时,能够得到两个重要论断。在笛卡尔坐标系中,gij=δij,εijk=eijk,由于这些都是常数,所以有:gij,k=0,εijk,l=0。笛卡尔坐标系中的偏导数和协变导数相等,直接推广到曲线坐标系中的形式为:gij;k=0,gij;...[继续阅读]

    为描述定点运动前后刚体质点的位置变化,引进一个不动的笛卡尔坐标系作为观察刚体运动的参考系,可选定点为参考系的原点,记参考系的基矢量为e1i(i=1,2,3)。刚体转动前,任一质点的初始位置矢量为:x0=x0ie1i (5.1.1)其中x0i表示质点位置...[继续阅读]