胡安定《律呂議》曰:按歷代律呂之制，黄鐘之管長九十，黍之廣積九寸，度之所由起也。

容千二百黍,積八百一十分,量之所由起也。重十有二銖,權衡之所由起也。既度量權衡皆生於黄鐘之龠,則黄鐘之龠圍徑容受,可取四者之法交相酬驗,使不失其實也。今驗黄鐘律管,每長一分,内實十三黍又三分黍之一,圍中容九方分也。後世儒者執守孤法,多不能貫知權量之法,但制尺求律,便爲堅證,因謂圍九分者,取空圍圓長九分耳,以是圍九分之誤,遂有徑三分之説。若從徑三圍九之法,則黄鐘之管止容九百黍,積止六百七分半,如此則黄鐘之管無從而正,權量之法無從而生,周之嘉量,漢之銅斛,皆不合其數矣。
【李傳】西山蔡氏曰[一]:“自孟康以律之長十之一爲圍之謬,其後韋昭之徒遂皆有徑三分之説,而《隋志》始著以爲定論。然累九十黍,徑三黍,止容黍八百有奇,終與千二百黍之法兩不相通,而律竟不成。唐因聲制樂,雖近於古,而律亦非是。本朝承襲,皆不能覺。獨胡安定以爲九分者,九方分也,以破徑三分之法。然不知變律之法,但見仲呂反生不及黄鐘之數,乃遷就林鐘以下諸律圍徑,以就黄鐘清聲。夫律以空圍之同,故其長短之異,可以定聲之髙下。今其空圍不同如此,則亦不成律矣,遂使十二律之聲,皆不當位,反不如和峴舊樂之爲條理,亦可惜也。”○魯齋彭氏曰[二]:“黄鐘律管,有周,有徑,有面幂,有空圍内積,有從長。如《史記》論從長,《漢書·律曆志》論從長及積,東漢鄭氏注《月令》論幂,蔡氏《月令章句》論從長,皆不易之論。獨圍徑之説,漢前俱無明文,東漢蔡氏始創爲徑三分之説。晉孟氏以後諸儒,續爲徑三分、圍九分之説。宋胡氏、蔡氏又爲徑三分四釐六毫、圍十分三釐八毫之説。然考之古方圍周徑幂積,率皆未合。如依徑三分之法,以《九章少廣》内祖氏密率乘除[三],止得面幂七分七釐奇,積實六百三十六分奇,如此則黄鐘之管,無乃太狹?其言徑三分、圍九分者,又用徑一圍三之法,雖是古率,然古人大約以此圓田,若以密率推之,假如徑七則圍當二十有二,若徑三分則圍長當九分四釐二毫一秒强,不但止於九分也。宋胡氏不主徑三圍九之説,然所言徑三分四釐六毫、圍十分三釐八毫,亦用徑一圍三之率。若依所言三分四釐六毫徑,當得圍長十分八釐七毫六秒二忽强,不止於十分三釐八毫也。蔡氏説徑圍分數與胡氏同,至於算法用圓田術,三分益一,得十有二,開方除之求徑,又以徑相乘,以管長乘之,用三分益一、四分退一之法,求幂積。但依此徑以密率相乘,則空圍中面幂不止得九方分,乃得九方分零四十釐六十毫五十七秒十四忽奇,積實乃得八百四十六分五百四十五釐一百四十二秒六百忽奇,如此則黄鐘之管,無乃太大?細考之,方内之圓,所占者不止四分三;圓外之方,所當退者又不及四分一。以此知三分益一、四分退一,乃算家大約之法,此蔡氏之説所以又不能盡合也。今欲求黄鐘的實定數者,須依蔡氏多截竹之法,又以祖沖之密率乘除方可。蓋以此管面空圍所容九分以平方幂法推之,知一分有百釐,釐有百毫,毫有百秒,秒有百忽,積而計之,九平方分,通有面幂九萬萬忽。乃以此九萬萬忽依密率乘除得圍^[41]周長十分六釐三毫六秒八忽奇。又以圍^[42]周求徑,計三分三釐八毫四秒四忽奇。又以半周半徑^[43]相乘,仍得九萬萬忽内一忽弱,通得面幂九平方分也。面幂計九方分,則積實當有八百一十分矣。算法既成,各依其長作九十分,乃取九十分之分,計三分三釐八毫四秒四忽奇,以合孔徑,如此則圓長面幂,與夫空圍内積,自然諧會,特數自入毫以下,非可細分,而算法積至秒忽,不容不然爾。”(彭氏之算,庶幾密矣。秒忽之下,有不盡之分,則亦無形之可紀也。蓋方體之積十四,則内容之圓其積十一。故知益一退一之法,爲古人疎率。以積求周者,置積爲實,以八十八乘之,以七除之,平方開之。以周求徑者,置周爲實,以徑法七因之,以周法二十二除之。以周徑求積者,置周折半爲實,以徑折半爲法乘之。此彭氏之説也。若以積求徑,則置積爲實,以十四乘之,以十一除之,平方開之。以徑求周,則置徑爲實,以周法二十二乘之,以徑法七除之,其所得之數,亦皆符會。)
[一]胡安定《律呂議》及李氏所引“蔡氏曰”均見蔡元定《律呂證辨·律長短圍徑之數》,有刪節。
[二]李氏所引“彭氏曰”見明代邢雲路所著《古今律曆考》卷三十一,有刪節。
[三]《九章少廣》指《九章算術·少廣章》。