七 《皇极历》和《大衍历》中的数学思想

《周髀算经》中已出现一次内插法。隋唐时代,为了更精确地计算历法问题,数学家们创立了二次内插法。
(一) 刘焯与等间距二次内插法
李约瑟说:“中世纪中国的数学与历法科学之间有着密切的联系。”^[1]这一点在隋唐时代看得很清楚。
古人把太阳和月亮的视运行都看作匀速的,在这种认识上计算太阳运行和编制历法当然比较简单,但不准确。北齐的民间天文学家张子信通过长期观察,发现太阳在春分后运行慢,秋分后运行快。这一事实促使人们创立新的方法去计算太阳运行等问题。于是,隋代天文学家兼数学家刘焯在《周髀算经》一次内插法启发下,首先在天文历法中使用等间距二次内插公式,大大提高了历法精度。
刘焯,字士元,信都昌亭(今河北冀县)人,生于东魏武定三年(544),卒于隋大业六年(610)。刘焯的父亲刘洽曾为郡功曹。刘焯从小勤奋好学,经10年苦读,成为州博士。曾在长安(今西安)与著作郎王邵同修国史,参议律历;又与刘炫奉旨考定洛阳石经。他对《周髀算经》、《九章算术》及各种古代历书深有研究,在总结前人数学和天文学基础上编写了一部《皇极历》,于600年进呈朝廷。虽由于保守势力的阻挠未能颁行,但书中的等间距二次内插法是一项杰出的数学成就,为历法的精确化做出了重要贡献。书载:
推每日迟速数术,见求所在气陟降率,并后气率,半之;以日限乘而泛总除,得气末率。又日限乘二率相减之残,泛总除,为总差。其总差亦日限乘而泛总除,为别差。率前少者,以总差减末率,为初率,半^[2]别差加之;前多者即以总差加末率,皆为气初日陟降数。以别差前多者日减,前少者日加初数,得每日数。所历推定气日,随算其数,陟加、降减其迟速,各为迟速数。^[3]
文中“气”指节气,“陟降”即升降,“泛总”是“盈泛”和“亏总”的合称,刘焯规定:“秋分后春分前为盈泛”,“春分后秋分前为亏总”。《皇极历》在推算日月五星行度时都使用了等间距二次内插法,本书介绍其中之一,即用它来求太阳在黄道^[4]上的位置。刘焯以时间为自变量,把一年分为24个相等的时间间隔,每个间隔被当作两节气间的时间长度,所以说他的内插法是等间距的。他认识到太阳在每一日运行快慢不同,并认为太阳在做匀加速运动,因此太阳视行度数便是时间的二次函数,应采用二次内插法。这是一种已经实测了太阳在某些节气的视行度数,求太阳在其他日期视行度数的方法。
实际上,术文是由某气迟速数f(nl)、陟降率Δ₁和后一气陟降率Δ₂,求该气内每日迟速数f(nl+t)的问题(l为一节气的日数,n=0,1,…,11;t=1,2,…,l)。可用现代符号表示如下:

l等于1时,上述公式则简化为

该公式在形式上与牛顿的差分公式一致,可由差分定义和二项式定理推导出来,但《皇极历》中并无推导过程,也没有任何迹象表明刘焯掌握二项式定理。有学者对刘焯的内插法造术进行几何解释^[5],符合逻辑及当时的知识水平,但是否符合刘焯思想,就不好说了。我们能确认的刘焯数学思想有两条:第一,他熟读《周髀算经》,二次内插的想法必然受到《周髀算经》一次内插的启发;第二,刘焯之所以要创立新的内插法,是因为他认识到太阳运动不是匀速而是加速的,所以太阳位置是时间的二次函数。刘焯以最新天文观测成果为背景,为制定更精密的历法而创立二次内插法,这既反映了他的致用思想,也反应了对数学完美的追求。
刘焯的内插公式不论是在数学史还是在天文学史上都是一项重要成就,它使历法精度大为提高。我们说《皇极历》是当时最先进的历法,主要原因就是它采用了二次内插法。
(二) 一行与不等间距二次内插法
僧一行,俗名张遂,出生于唐高宗弘道元年(683),卒于唐开元十五年(727),巨鹿(今河北巨鹿)人。21岁从普寂学禅,又从善无畏、金刚智学密法,曾译《大日经》,并著《大日经疏》,是当时有名的高僧。他还是一位杰出的科学家,做出多方面的贡献。
(1) 制造天文仪器。天文学的发展离不开天文观测,所以一行十分重视观测仪器的革新。当时太史局所用浑仪上没有黄道环,不能直接测出天体的黄道度数。一行提出制造新的仪器,与梁令瓒共同制成黄道游仪。其黄道环是可移动的,体现了岁差现象,这正是一行思想的先进之处,也是“游仪”名称之由来。他利用这台仪器做了许多工作,包括对月亮的运动和恒星黄、赤道度数(经度)及去极度(纬度)的测定,其中月亮运动的观测对制定历法有很大意义,为交食的准确预报提供了基础。另外,他还领导制造了新的水运浑象,该仪不仅能演示天体运行,而且立了两个木人,按刻击鼓,按辰撞钟,集浑象与自鸣钟于一体。
(2) 实测子午线。一行受诏改历后组织的另一项重大活动就是大地测量。这次测量不仅对历法改革起了重要作用,而且以实测数据彻底否定了古代以“大地是平面”为前提的“日影一寸,地差千里”的错误结论。一行得出地球子午线一度弧的长度,虽然不够准确(相对误差约1/10),但作为世界历史上的第一次,其创新思想及实践精神都有深远影响。大约90年后,阿拉伯数学家、天文学家花拉子模在幼发拉底河平原进行大地测量(814),所得子午线一度之长就准确多了(相对误差约1/100)。
(3) 编制《大衍历》。开元十五年(727),《大衍历》草成。这是一行最重要的科学成就,就在这年,一行在随唐玄宗去洛阳途中卒于新丰(今陕西临潼),年仅45岁。一行去世后,张说、陈玄景奉诏对《大衍历》进行整理、加工,一年后定稿,分为“历术”(又称“历经”)7篇、“略例”1篇,“历议”10篇。朝廷组织人力对当时的几部历法进行检验、比较,包括一行的《大衍历》,印度传来的《九执历》和李淳风《麟德历》。检验的主要方法是由各历预报日月交食的时间,然后与实际观测相比较,结果《大衍历》误差最小,于是从开元十七年(729)向全国颁行。
这部历法之所以能达到较高精度,与一行创立的不等间距二次内插法分不开。《皇极历》中由于采用了等间距二次内插公式,所以计算结果比以前准确。但这一公式是以各节气时间间隔相等为前提的,实际上二十四节气的时间间隔应该有差别,使用不等间距内插法更合理,这一工作是由一行完成的。
一行认识到,冬至附近日行最快,故二气间运行时间最短;夏至附近日行最慢,故二气间时间最长。他在《大衍历》的“步日躔术”中提出“定气”概念^[6],不再把一年时间分为24等份,而是把黄道分为24等份,以太阳实际走完每个等份的时间长度为各节气长度。于是,以时间为自变量的函数由等间距变为不等间距,其插值原理是相同的。
《大衍历》中的不等间距二次内插公式,可用现代符号表示如下:

式中f(t)是已知某气的太阳视行度数,f(t+s)是t后s日的太阳视行度数,l₁和l₂是相邻两节气的时间间隔,Δ₁＝f(t+l₁)—f(t),Δ₂＝f(t+l₁+l₂)-f(t+l₁)。
(三) 世界上最早的正切表^[7]

图4-6 影长与天顶距关系

一行在《大衍历》中创造了通过某地影长的观测求太阳天顶距的方法,并为此编制了0°到80°的正切函数表,这是世界上最早的正切表。
如图4-6所示,h是表长,l是日影长,S是太阳,z是天顶。太阳的天顶距等于α,l/h就是α的正切。由于h是常数(8尺,写为80000),所以一行只给出随α变化的l的长度,具体说就是给出天顶距从0°到80°所对应的表影长,它显然是α的函数。只要用它除以表长,就能得到现代意义的正切值了。由于中国古代没有三角函数概念,而一行时代印度的正弦知识已传入中国,所以一行的正切表可能是在印度正弦思想的影响下创造的。《九执历》中便有半径为3438^[8]的圆的正弦表,实际是以3438为直角三角形的斜边。若以一条直角边为已知条件,另一直角边则可看做正切函数线了。一行便是以标杆的长度为已知条件,通过影长的变化反映正切函数的。
根据正切定义

影长l=表高h·tanα

当太阳在天顶时,α=0,影长为0。太阳的天顶距越大,影越长。《大衍历》“步轨漏术”中给出了天顶距从0°到80°每度影长的计算方法:
南方戴日之下,正中无晷。自戴日之北一度,乃初数千三百七十九。自此起差,每度增一,终于二十五度,计增二十六分。又每度增二,终于四十度。又每度增三^[9],终于四十四度,增六十八。又每度增五^[10],终于五十度。又每度增七,终于五十五度。又每度增十九,终于六十度,增百六十。又每度增三十三,终于六十五度。又每度增三十六,终于七十度。又每度增三十九,终于七十二度,增二百六十。又度增四百四十,又度增千六十,又度增千八百六十,又度增二千八百四十,又度增四千,又度增五千三百四十。各为每度差。因累其差以递加初数,满百为分,分十为寸,各为每度晷差。又累其晷差,得戴日之北每度晷数^[11]。
文中“晷数”即日影长,晷差、度差及度增为晷数的一次差分、二次差分和三次差分。术文给出0°到80°的日影长及各次差分,以日影长除以标杆长,便是正切值了。下面截取前10°的表格内容。

天顶距和影长表

一行的正切表是为实践目的设计的,它的雏形可能在724年的大地测量中就产生了,并得到应用。实测以后,一行又对此表进行核对。该表在一行制定《大衍历》过程中发挥过作用。由于《大衍历》受到某些人怀疑,皇帝命人检验几种历法的优劣。《新唐书》载:“诏侍御史李麟、太史令桓执圭较灵台候簿。大衍十得七、八,麟德才三、四,九执一、二焉。”^[12]这就是说,由《大衍历》预报的天文现象准确度最高,显然与他使用了比较先进的正切表有关。我们用现代正切表核对一下,就会发现一行正切表53°以内的函数值,误差不到1%。
约920年,阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼(Al-Battani,858—929)根据12尺标杆影长与太阳仰角之间的关系,编制了0°至90°每隔一度的影长表,实际是一张12×cotα的余切函数表,很可能是在一行正切表启发下编成的。唐代中外学术思想交流频繁。一行在印度正弦思想的影响下编成正切表,阿拉伯人又在正切表启发下编成余切表,这是完整的三角函数概念产生前三角学发展的一个可能的途径。虽然一行正切表对中国后世影响不大,但对世界三角学早期发展的贡献不能低估。