五 数学体系的补充——《海岛算经》

刘徽在完成对《九章算术》的注释后撰《重差》一卷,“缀于勾股之下”,是为了完善体系,可看作对《九章算术注》的补充。正如刘徽所说:
徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。^[1]
同时也是为了实际需要:
凡望极高、测绝深而兼知其远者,必用重差。^②
重差即通过两次或两次以上测量所得之差,是野外测量的必要手段。
刘徽的数学理论之树以率概念为根,以率性质为干,“重差术”是该树的一个重要分枝。刘徽说:“勾股则必以重差为率”^[2],清楚地说明重差与率的关系,测量中所用勾股形是离不开重差诸率的。这也说明刘徽的理论体系具有发展的内在动力。但该卷对《九章算术》来说还是具有相对独立性,是超出《九章算术》范围的一个新的研究领域。因此,唐李淳风编《算经十书》时把它抽出来单独成书,更名为《海岛算经》。
刘徽既重视理论体系的完美,也重视应用的广泛,《海岛算经》中的九题是他精心选择的有代表性之题,包括重表、累矩等基本的测望技术,也包括经三次甚至四次测望才能解决的复杂问题。刘徽说:
度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡伏,靡所不入。^②
重表法见于《海岛算经》第一题:
今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰与表末参合。从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高及去表各几何?
术曰:以表高乘表间为实,相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者,以前表却行乘表间为实,相多为法,除之,得岛去表数。
这一方法并非刘徽首创,与赵爽测日高术一致,只是把日高换成岛高。刘徽将此术置于《海岛算经》之首,有三重意义:第一,将不实用的测日高问题转变为使用价值极高的测地面目标高度的问题;第二,以此为基础可推导出更复杂的测量方法;第三,把此术放在以率为根的体系内,不仅丰富了体系,也表明此法可由率推出。从《九章算术注》来看,刘徽对以出入相补为基础和以率为基础的两种证法都是熟知的。出入相补原理只是局部使用,而率的推导是全局性的。遗憾的是刘徽对《海岛算经》的自注已佚,不知他以何种方法证明此术。出入相补证法当与赵爽差别不大,兹不赘述。下面给出刘徽可能采用的率的推导法。^[3]其中的“相似三角形”概念,刘徽不曾提到。但从《九章算术注》的勾股章注释来看,刘徽对于“相似三角形对应边成比例”这一基本性质是清楚的。他把“重差”一卷“缀于勾股之下”,而不说“缀于书末”,暗示其与勾股章的密切关系。

图3-19 测海岛

如图3-19所示,AC和EG为所立两表。由G却行至K,使GK=CB,则AB∥EK,连EA并延长,与PQ交于R,则RE∥QC,RQ=AC。因为△PRA和△EGK相似,所以

因为△PAE和△EKF相似,所以

所以

设岛高为y,岛去表数为x,则

式中KF=GF-GK。
测高之重表法,与测远之连索法(第三题)、测深之累矩法(第四题)一起,构成重差术的三种基本测望技术。吴文俊在《海岛算经古证探源》^[4]中详细讨论了这些方法的古代证明。