四 数学体系的理论化——《九章算术注》与《周髀算经注》

如果说《九章算术》是中国最早的数学体系,刘徽的《九章算术注》则是中国最早的数学理论体系。稍早的同时代作品《周髀算经注》也体现出理论化倾向。
(一) 刘徽与赵爽
刘徽是三国时代魏人,赵爽是同时代吴人,赵爽注《周髀算经》在先,刘徽注《九章算术》在后。当时三国鼎立,文化交流很少,刘徽的工作并未受到赵爽影响。但两书形成的时代背景是相近的。
从中国思想史的发展来看,三国时期掀起了春秋战国之后的又一次思想解放、百家争鸣的高潮,延续到晋。汉代数百年“独尊儒术”,使儒学几成神学,占据思想界的统治地位。先秦时期的其他诸子学说在汉代遭到不同程度的排斥,极富科学精神和逻辑推理的墨家思想竟成绝学。这样一种沉闷、独断的学术风气随着东汉政权的瓦解而结束,各种学说应运而生,学术争鸣此起彼伏。首先兴起的是玄学,因高举《老子》、《庄子》和《周易》三面旗帜,号称“三玄”,实际上儒道合流,崇尚清谈。玄学开创者何晏(195—249)和王弼(226—249)都以“贵无”为其理论核心,主张世界万物由“无”所生,“凡有皆始于无”^[1]。与此同时,另一位玄学代表“竹林七贤”之一嵇康(224—263)则提出“越名教而任自然”^[2],主张超越儒家的伦理学说,以自然为研究对象。玄学为学术界带来一股清新空气,但他们远离现实的空谈使一些知识分子“口之所谈,身不能行”,“长于议古,短于理今”,“治事则事废,衔命则命辱”^[3]。因此,从玄学产生的时候起,反对玄学的思潮就没有间断过。吴人杨泉著《物理论》,继承了先秦《管子》“水-气”本原论的思想,认为天地万物由水而生,由气而成,用物质性的水和气来反对玄学家超物质的“无”和“道”。晋初裴頠(267—300)著《崇有论》,认为“以无为宗”是“偏而害当”,用客观存在的“有”去批判和取代玄虚缥缈的“无”。
由于学术争鸣和互相问难的需要,三国时期出现一股辨析名理的思潮,以掌握逻辑学为要。先秦名家的一些论题被重新提了出来,被学术界遗忘的墨家逻辑学得以复苏。晋初鲁胜的《墨辩注》,可看作对当时辨析名理思潮的总结。“析理以辞”^[4]的刘徽和重视证明的赵爽,正是在这一思潮中产生的。
赵爽又名婴,字君卿。从《周髀算经序》中可知其身世梗概。他“负薪余日,聊观周髀”,可见曾从事体力劳动。他说原书“约而远,其言曲而中。将恐废替,濡滞不通,使谈天者无所取则。辄依经为图,诚冀颓毁重仞之墙,披露堂室之奥”。这便是他注释《周髀算经》的目的。他的注释图文并茂,便于读者登堂入室。从现传本可见其在插图上下过大功夫。勾股圆方图、日高图等十分精致,并用黄、朱、青三种颜色来标记图中的不同部分。
在数学学习上,赵爽主张“累思”,他说:“累,重也。”“诚能重累思之,则达至微之理。”他赞赏“言约旨远”,“问一事而万事达”。又说:“引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣。”主张“举一隅,使反之以三也”^[5]。这些思想方法,至今仍有教育意义。尤其值得称道的是,他不再满足于给出公式并明了其用法,而是探究公式的由来,最典型的是对勾股定理的证明。他突破应用理念,追求数学自身的完美,这是他高于《周髀算经》原作者的地方。其工作特点与刘徽相似,只是囿于原书框架,理论研究不够全面。
山东人刘徽出身平民,“幼习九章,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。”^[6]于公元263年完成《九章算术注》。从“采其所见,为之作注”来看,他搜集了当时的许多数学成果,把它们融合到自己的注文之中。其注文详细,重在推理。他认为:“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干者,知发其一端而已。”可见其有演绎思想。他的注释方法是“析理以辞,解体用图”,力求用文字阐述理论,并借助直观,以达到“约而能周,通而不黩”的效果。他不迷信古人,认真指出原书之不足,如批评“周三径一”时说:“世传此法,莫肯精核,学者踵右,习其谬失。不有明据,辩之斯难。”^[7]他不局限于计算,说理论问题“谓以情推,不用筹算”。他不满足于应用,致力于探讨每个公式的由来,从而判断其正误。总之,他追求理论的完美,这种精神贯穿始终,使他的“注”不是一般性解释和说明,而成为系统的理论研究,从而使《九章算术注》成为中国数学史上最早的理论体系,这一体系是致用精神和理论思维结合的产物,前者为基础,后者为主导。
刘徽在完成《九章算术注》后,认为古有“重差”而书中未收,是一缺憾,遂作《重差》一卷,置于勾股章后。他说:“徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差,勾股则必以重差为率……辄造重差,并为注解,以究古人之意。”^[8]这就是说,他以《重差》为《九章算术》之附录,可以看作对他刚刚完成的数学理论体系的补充。该卷共9个问题,每问有答有术,独立成篇。唐代李淳风把它单独摘出,取名《海岛算经》(因第一问“望海岛”而名),作为《算经十书》之一而流传至今。
(二) 赵爽的数学证明
《周髀算经注》中的“勾股圆方图说”^[9]是数学史上不可多得的精彩论文,文中给出我国最早的勾股定理证明,导出勾、股、弦及其和、差互求的24条命题,体现了数学理论化的思想。文章如此概括勾股定理的价值:
统叙群伦,宏纪众理,贯幽入微,钩深致远。故曰:其裁制万物,唯所为之也。

图3-9 弦图

所以把勾股定理的证明放在首要位置。先给出定理本身:
勾、股各自乘,并之为弦实。开方除之,即弦。
然后根据弦图,如图3-9所示,证明如下:
勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。以勾股之差自乘为中黄实,加差实一亦成弦实。
弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实。包括四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红色(朱)及黄色,其面积以朱实、黄实表示。赵爽的证明可用现代语言表述如下:
因为 勾×股=2朱实,2×勾×股=4朱实,(股-勾)²＝黄实,所以
2×勾×股+(股-勾)²＝4朱实+黄实=弦实=弦²
化简得

勾²+股²＝弦²

证明过程是完整而简洁的。
在《周髀算经注》中,“弦图”的面积思维被推广为证明日高术的出入相补,构思十分巧妙。出入相补原理是中国古代数学家常用的一条不证自明的公理,“出入相补”一词首见刘徽《九章算术注》勾股章注,吴文俊以现代文字归纳如下:
一个平面图形从一处移置他处,面积不变。又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。^[10]

图3-10 日高图

赵爽绘日高图,如图3-10所示^[11],并给出日高术证明文字如下:
黄甲与黄乙其实正等。以表高乘两表相去,为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一,所得则变得黄乙之袤,上与日齐。按图当加表高,今言八万里者,从表以上复加之,青丙与青己其实亦等。黄甲与青丙相连,黄乙与青己相连,其实亦等。
图中BA和DC是等高(8尺)的测日标杆,即表。BE和DF为影长。日高术即公式

以表示矩形面积,则赵爽的证明思路为:
由出入相补原理得
HC=CN,GC=AN,
等号两边分别相减
HC-GC=CN-AN
而HC-GC=HJ
CN-AN=BC
所以HJ=BC
所以(DF-BE)×HI=BD×AB
所以

从数学思想来看,赵爽的证明是严格的。只是由于日高术假定大地为平面,不可能得到日高的正确数值。
(三) 刘徽的数学观
数学观即对数学的总的看法,是数学研究的立足点,作为一位数学大师,刘徽对此有清楚的认识。从《九章算术注》可以看出,他的数学观体现了深刻的自然哲学思想。
刘徽认为,数学研究的就是自然,他在序中写道:
昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变,暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有九数,九数之流则《九章》是矣。
文中并无“自然”两字,但充满自然之理。老子曰:“人法地,地法天,天法道,道法自然。”^[12]可见自然乃天然,是不以人的主观意志而转移的客观存在。“神明之德”和“万物之情”都是自然,是可“通”可“类”的。九九之术要“作”,六爻之变要“合”,随后要“化之”,“伸之”,都是依据自然,也是“九数之流”的精髓。
刘徽进一步认识到,植根于自然的数学像一棵大树,“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干者,知发其一端而已”。他认为数学的意义不仅在于自身,而是一个探索未知的有力工具,他说:“虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方。”其中表现出刘徽的“致用”精神,但这种“用”已不局限于生产和生活中的“应用”,而包含揭示自然奥秘的成分。他认为数学方法不是很难掌握的:“至于以法相传,亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。”但当时“好之者寡,故世虽多通才达学,而未必能综于此耳”。
刘徽是一个富于批判精神的数学家,他在理解自然的基础上,同另一位大科学家张衡(78—139)进行了自然之辩。少广章开立圆术注云:
衡说之自然,欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞,斯乱道破义,病也。
张衡在研究球体积时,不满古率π=3而提出自己的见解及算法,得出圆周率为,并用到正方形与其内切圆面积之比。刘徽认为这一比值“失之远矣”,以为圆周率则“增周太多,过其实矣”。尽管张衡也试图使自己的结论符合自然,并套用阴阳奇偶之说,但他这种“不顾疏密”的工作受到刘徽的批评,称其“病也”。刘徽正是在这种自然之辩中创立了“牟合方盖”理论。虽然没有最终解决球体积问题,但比张衡的工作大大前进了一步,为祖冲之父子的工作铺平了道路。刘徽在自然之辩时强调要有明据,说:“不有明据,辩之斯难。”^[13]这种精神,使其种种论点极具说服力。
刘徽的自然哲学思想,促使他同时追求数学之美和数学之用。他以自然之理构建数学体系,并用其解释自然,指导人们的现实生活。这种思想对于当今数学的发展也有借鉴意义。据笔者观察,我国现代数学发展历程中曾出现两种思潮:一是片面强调数学与国计民生的关系,忽视理论研究;二是片面强调数学的抽象性,认为数学一旦从实际中产生,就应该离实际越来越远。后者可称之为“唯美论”,因不受实践检验,所受阻力必小,可凭思维结出美丽的花朵。但由于脱离经验,营养不足,难以结出饱满的果实。如果像刘徽那样,以顺应自然的态度研究数学,便可使数学健康发展,持续地开花结果了。当然,作为数学家个人是可以倾向于理论或应用的。但作为科技政策的制定者和学科带头人,则必须清醒地认识到美与用不可偏废,以便采取合适的对策。数学的产、学、研相连的理念便是数学发展的自然,应予重视。
(四) 刘徽建立理论体系的思路
对于大思想家刘徽来说,《九章算术》不是其思想发展的束缚,而是提供了广阔的发展空间。刘徽研究该书,着眼点不是一题一法,如果那样的话,他的工作只能看作对原体系的完善。刘徽在熟读《九章算术》后,综观全局,高屋建瓴,他要在这一算法体系的基础上构建理论体系。其主要思路为“枝条虽分而同本干者,知发其一端而已”。此处的“端”即树根。刘徽循自然之理,由根到干,由干到枝,培育起他心目中的数学理论之树。
1. 以“率”概念为根
什么是率?刘徽给出定义:“凡数相与者谓之率。”^[14]这里“相与”的意思即相关,而数是可变的量。一组变量,如果它们相关,就称为率。这是数与数之间的抽象的、一般的关系,书中各种具体的率均由此而生,故以其为根。例如,均输章中“令末重减本重,余即差率也”,还有所谓上率、下率、平率等,均由抽象的“率”生出。盈不足章有“所出率”,因所出钱数及盈不足是成比例的量,故所出为率;方程章中将方程定义为一组率,“令每行为率”,这些具体的率均由抽象的率而生。即使是几何问题,刘徽也着重考虑其中的长度之间、面积之间、体积之间的数量关系,从而离不开率。比如长度之间的周律、径率、勾率、股率和弦率,面积之间的方率和圆率,体积之间的堑堵中阳马与鳖臑的“不易之率”,等等。所以,率是数学理论之树的根。
2. 以“率”性质为干
刘徽指出,率有如下性质:“凡所谓率者,细则俱细,粗则俱粗,两数相推而已。”并由此得出率的三种等量变换:“乘以散之,约以聚之,齐同以通之。”^[15]这便是所谓“同本干”之干。
关于“乘以散之,约以聚之”,刘徽在方田章约分术注中说:“物之数量,不可悉全,必以分言之。”句中“全”指整数,分指分数,说明了分数的必要性。他进一步指出:“分之为数,繁则难用。”因此需要约分。他举例说:“设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四,约而言之,则二分之一也。虽则异辞,至于为数,亦同归尔。”之所以这样做,是根据率的基本性质:诸率同乘或同除一数(非零),其关系不变,于是有所谓“散分”和“约分”。刘徽在经分术注中说:
率者,自相与通。有分则可散,分重叠则约也。等除法实,相与率也。故散分者,必令两分母相乘法实也。
“有分”指带分数,分重叠即分子、分母有公因数,“相与率”是最简分数,等即公因数。由于“相与率”用起来特别简捷,刘徽皆用“相与率”入算,不是“相与率”的则通过“等除法实”化为“相与率”。之所以能这样,就在于率是可以“乘以散之,约以聚之”的。
在方田章合分术注中,刘徽写道:
凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同共一母也。齐者,子与母齐,势不可失本数也。
这段话以分数通分阐述齐同,乃刘徽数学理论中齐同术的最初含义。通分法则的理论依据是率的等量变换“乘以散之”。刘徽说:“乘以散之,所以通之。”在这个意义上,齐同是“乘以散之”的推广。但刘徽对齐同的理解远不止此。他将齐同术看作率之全体在“不失本率”条件下的变形规则,并强调说:
齐同之术要矣。错综度数,动之斯谐,其犹佩觿^[16]解结,无往而不理焉。
在解决盈不足问题时,刘徽“齐其假令,同其盈朒”,用的是齐同之理;在解方程(即线性方程组)时,刘徽“令每行为率”,然后“令右行上禾乘中行,为齐同之意”,可见齐同的思想方法是解方程的依据。
刘徽总结说:
乘以散之,约以聚之,齐同以通之,此其算之纲纪乎?
此处的“纲纪”为“本干”的同义语,说明率的性质是数学理论之树的干。
3. 以“诸率”为枝条
刘徽以“率”概念为根,以“率”性质为干,生出无数枝条,即“诸率”。诸率是用来论证《九章算术》中各种算法的,它们“同本干”而“发其一端”,构成统一而丰富的整体。
在方田章的合分术、经分术、乘分术、圆田术、宛田术、弧田术、环田术的注文中,有具体的诸率理论;少广章的开圆术、开立圆术注文中,有具体的诸率理论;在商功章的穿地术、圆堢术、圆亭术、圆锥术、阳马术、羡除术和盘池术中,有具体的诸率理论;在粟米章、衰分章、均输者、盈不足章、方程章的几乎所有术文的注释中,都有具体的诸率理论;勾股章也以诸率为要。诸率与习题一起,构成了枝叶繁茂的树冠。枝条上可生出无数新叶,所以这棵数学理论之树有旺盛的生命力。
在诸率中,“今有术”应予重视。这是一种“以所有数乘所求率为实,以所有率为法。实如法而一”得所求数的计算方法。《九章算术》中的许多问题可用“今有术”解决,刘徽说它“诚能分诡数之纷杂,通彼此之否塞,因物成率,审辨名分,平其偏颇,齐其参差,则终无不归于此术也”。并强调指出:“此都术也。”^[17]书中相当大的一部分内容可归纳为“今有术”,只要分清事物关系中孰是所有数、所求率和所有率,便可按“今有术”入算。在数学理论之树的树干上,这似乎是一个最粗壮的分枝。
总之,“率”是《九章算术注》这一数学理论体系的精髓。
(五) 刘徽的极限思想
极限思想是刘徽数学思想的重要组成部分,在割圆术、弧田术、开方术和阳马术中的应用,促成了众多理论成果。
1. 割圆术
《九章算术》方田章“圆田术”给出圆面积公式:“半周半径相乘得积步。”刘徽注中用割圆术证明这一公式:
为图,以六觚之一面乘半径,因而三之,得十二觚之幂。若又割之,次以十二觚之一面乘半径,因而六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥少。割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。弧面之外,犹有余径。以面乘余径,则幂出弧表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。表无余径则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。

图3-11 割圆术

这里“觚”是正多边形,“六觚”即正六边形,“面”为边,“幂”为面积,“余径”是边心距与圆半径之差,如图3-11所示。^[18]
刘徽认为,圆内接正多边形的边数越多,其面积就越接近圆面积,也就是说以圆面积为极限。他从这一思想出发,创立了科学的求圆周率方法——割圆术。具体来说,就是以1尺为半径作圆,再作圆内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出边数为6,12,24,48,96,192的圆内接正多边面积。他巧妙地用l₆去求S₁₂,再用l₁₂去求S₂₄,……。其公式为

其中r为圆半径,l_n为圆内接正n边形边长,S_2n为圆内接正2n边形面积。至于正多边形边长,刘徽是反复利用勾股定理来求的。例如,由以下三式便可求得正十二边形边长

刘徽依次计算各正多边形面积,当他算得S₉₆＝(平方寸)和S₁₉₂＝(平方寸)后,便根据

S₁₉₂<S<S₁₉₂+(S₁₉₂-S₉₆)

得到

刘徽舍弃分数部分,取圆面积为314,故圆周率为3.14,刘徽又以分数157/50表示。后人把3.14或称为徽率。
刘徽认为可以不断求下去,得到任意精度的圆周率值。他把圆周率计算到,即3.1416后,说其“仍约耳”。祖冲之正是按刘徽的方法“割之又割”,才得到小数点后七位的圆周率值。
割圆术的创立是数学史上的一件大事。古希腊的阿基米德也曾用割圆术求圆周率,他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆,方法稍繁,原理一致。刘徽独立产生这种思想,再次说明数学思想发展具有内在的规律性,此处表现为化圆为方,用方无限逼近圆。
2. 弧田术
《九章算术》方田章弧田术为:“以弧乘矢,矢又自乘,并之,二而一。”由于这种算法误差较大,刘徽便创造新法,用极限思想推导其面积。他说:
宜依勾股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。既知圆径,则弧可割分也。割之者半弧田之弦以为股,其矢为勾,为之求弦,即小弧之弦也。以半小弧之弦为勾,半圆径为弦,为之求股,以减半径,其余即小弧之矢也。割之又割,使至极细。但举弦矢相乘之数,则必近密率矣。

图3-12 弧田术

这就是说逐次分割弓形的弧,先求出弧上对应的等腰三角形的面积,然后对其求和。只要分割得足够细,弓形面积便可精确求得。这实际是割圆术在弧田术中的应用。如图3-12所示,刘徽在弓形内作以a₁为底,h₁为高的等腰三角形,求出其面积

再以此三角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形,每个三角形面积为

如此类推,刘徽把这些等腰三角形面积之和的极限定义为弓形面积。显然,用此方法可使弓形面积达到任意需要的精确度。设弓形面积为S,可用现代数学符号表示如下:

上述方法在理论上是严格的,“然于算数差繁,必须有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。”^[19]刘徽的这段话,说明他既追求理论的完美,也不忽视应用的方便,在中国的数学思想史上堪称经典。
3. 开方术
《九章算术》少广章开方术说:“若开之不尽者,为不可开,当以面命之。”“面”为正方形边长,以面命之即以余数表示。刘徽改变了这种约定俗成的不严格做法,他凭极限思想创立了十进小数表示法,圆满解决了开方不尽的难题。他说:
不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细。则朱幂虽有所弃之数,不足言之也。
“朱幂”即红色面积,刘徽用来表示被开方数与近似平方根的平方之差。“微数”是比最小长度单位“忽”更小的数。^[20]这段话的意思是:若开方不尽,可不断地开下去,个位之后的第一位以10为分母,第二位以100为分母……从而求得任意精度的方根。刘徽的思想可用现代数学符号表示如下:

其中a是方根的整数部分,a₁,a₂,…,a_n为一位数。计算时,可根据需要取括号内的足够多项。这些十进分数的本质即今之小数。刘徽创立十进小数是他对数学的一大项献,是运用极限思想的结果。

图3-13 阳马术

4. 阳马术
刘徽在研究立体几何时发现:
邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑。阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。^[21]
如图3-13所示,过对角面分割堑堵为一个阳马(ABCDE)和一个鳖臑(DEFC),则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一。为叙述方便,我们称这一定理为阳马定理。在商功章阳马术注中,刘徽用极限思想证明了这一定理:
合两鳖臑成一阳马,合三阳马而成一立方,故三而一。验之以棋,其形露矣。悉割阳马,凡为六鳖臑……邪解方棋以为堑堵者,必当以半为分;邪解堑堵以为阳马者,亦必当以半为分,一从一横耳。设阳马为分内棋,鳖臑为分外棋。……是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一。虽方随棋改,而固有常然之势也。按余数具而可知者有一、二分之别,则一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置余广、褒、高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其余弥细。至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉。
刘徽证明阳马定理的基本思路是:首先用棋验法证明这一结论在堑堵的3/4中成立,同理可证这一结论在所余1/4立体的3/4中成立……依此类推,所余立体越来越小,以零为极限,故结论在整个堑堵中成立。^[22]可见刘徽的极限思想十分深刻,他不仅掌握分割的无限过程(“半之弥少,其余弥细”),懂得无穷小(“至细曰微”),还知道无穷小以零为极限(“微则无形”),刘徽的思想可用现代数学符号表示

(六) 刘徽的逻辑推理
刘徽运用“析理以辞,解体用图”的科学方法,使其构建的数学体系“约而能周,通而不黩”^[23]。“析理以辞”是对其逻辑推理的高度概括,即通过概念进行推理。
1. 演绎
演绎思想是刘徽逻辑推理的核心,例如,他的方程理论便是在“程”和“方程”的定义基础上演绎出来的。而这两个定义又依据一个更基本的概念——率,其定义为:“凡数相与者谓之率。”相与即相关,由于刘徽研究的是线性问题,该定义可理解为:成线性相关的几个量为率。刘徽进一步解释说:“凡所谓率者,细则俱细,粗则俱粗,两数相推而已。”这就是说,率是成比例变化的一组数。
刘徽对程的定义为:“程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率。”^[24]课是考核的意思,程是程式,即关系式。这段话的大意为:程是与实际考核相符的诸物间的一个关系式,式中的各项可以成比例变化。定义中的“令每行为率”十分精彩,为程的同解变换提供了坚实的理论基础。紧接在“程”之后的便是“方程”定义:“二物者再程,三物者三程,皆如物数程之。并列为行,故谓之方程。”这就是说:“有二个所求之物,须列两个程;有三个所求之物,须列三个程,程的个数必须与所求物的个数一致。诸程并列,恰成一方形(筹式),所以叫方程。”定义中的“物”实际是未知数。很明显,刘徽所谓“程”即今之方程,所谓“方程”即线性方程组。
刘徽所定义的“方程”,实际是有唯一组解的方程组。“皆如物数程之”便是方程组有唯一组解的条件。依据这一定义,刘徽认识到“五家共井”题是不定方程,因为物数多于个数。原题为:
今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何?
题中“绠”是水桶上的绳子,“逮”即到,是从地面到井水的意思。这道题有6个未知数(井深及5个绠长),但只能列出5个方程

2x+y=h
3y+z=h
4z+w=h
5w+u=h
6u+x=h

因此有无穷多组解。严格来说,这已不是刘徽定义的“方程”了。但它仍是诸程并列的形式,所以刘徽把它当成一个特殊的“方程”,在求得一组解后,特意加了一句“举率以言之”,即求出的解扩大或缩小若干倍后仍是“方程”的解。可见刘徽是认识到这类方程组有无穷多组解的。
在讨论方程组有唯一组解的条件时,除了“皆如物数程之”以外,刘徽还提出“行之左右无所同存”。用现代语言讲,就是“方程个数必须与未知数个数一致”和“方程组里任何两个方程的系数不能相同或成比例”。显然,后者是前者的推论。若方程组中某两个方程的系数相同或成比例,则会在方程组变形过程中消掉一个方程,使方程总数少于未知数个数,不符合“皆如物数程之”了。可见刘徽的“方程”定义是方程组可解判别法的依据。
研究“方程”的目的是为了求解。刘徽在定义了“方程”并给出有唯一组解的条件后,便由此得出方程同解变形的一整套理论。
(1) “令每行为率”,即方程的各项可以成比例地扩大或缩小,也就是说方程各项同时乘以或除以一个不等于0的数,不改变方程的解。方程定义中规定的这一根本性质,是方程也是方程组同解变形的理论依据。
(2) “每一行中,虽复赤黑异算,无伤。”即方程的各项同时变号,不改变方程和方程组的解。这条性质是前一性质的推论,既然方程两边可同时乘以一个不等于0的数,若这个数是-1,便得此结论。负数概念古已有之,但只是到刘徽这里,才出于解方程的需要,给予负数明确定义:“今两算得失相反,要令正负以名之。”他以红、黑两种不同颜色的算筹表示正负,故曰:“每一行中虽复赤黑异算,无伤。”由方程及正负数定义导出这一性质,逻辑推理是相当严密的。
(3) “举率以相减,不害余数之课也。”举即全,害即防碍。这句话的意思是:对应的率相减后,由余数组成的新行,仍与原来的考核相符。也就是说,两个方程的对应项相减,所得新方程仍与原方程同解,由于是率,当然可以在相减以前扩大或缩小若干倍。而异号两数相加可看作同号两数相减,所以“举率以相减”实质上包括了“举率以相加”。这种运算与线性代数中的初等变换“用一个数乘某一方程后加到另一方程”是等价的。方程组由率组成,扩大或缩小若干倍后仍是率,而两个率相减后也是率,所以不影响方程组的解。
(4) “如方程,益之曰损,损之曰益。”益即加,损即减。结合上下文,易知此话的意思:方程一边加上一个数,相当于另一边减去这个数。也就是说,方程进行移项时,正的变负,负的变正。方程的这条性质也是建立在方程定义的基础上的:方程中有物(未知数)、有数(系数)、有实(常数),且与考核相符,所以才能进行损益变化。
总之,刘徽以率为基础给出方程及方程组定义,进而导出方程组可解判别法及同解变形理论,其演绎思想起了重要作用。
2. 归纳
除了演绎法,刘徽在《九章算术注》中也多次运用归纳推理。演绎是从一般到特殊,而归纳则是由特殊到一般。
例如均输章第十题:
今有络丝一斤为练丝一十二两,练丝一斤为青丝一斤十二铢^[25]。今有青丝一斤,问本络丝几何?
为了解决这类问题,刘徽采取归纳推理,对“错互不通”的络丝、青丝和练丝三率归纳后发现,可用“齐同术”解决,从而使络丝/练丝=4/3和练丝/青丝=32/33这两组率“相与大通”。刘徽总结道:
凡率错互不通者,皆积齐同用之。故此,虽四五转不异也。
这就是说,齐同术可推广到一般,解决各率“错互不通”的问题。
再如方程章第七题:
今有牛五、羊二,直金十两。牛二、羊五,直金八两。问牛、羊各直金几何?
设牛、羊一头直金(值钱)各为x,y,依原术得

刘徽采用“互乘对减”法解之:
假令为同齐,头位为牛,当相乘左右行定。更置右行牛十、羊四,直金二十两;左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。以少行减多行,则牛数尽,惟羊与直金之数见,可得而知也。
依注文演算,右行(即今方程组上行)乘以2,左行乘以5,得

两式相减,得21y=20,y=21/20,即羊的直金数。这种“互乘对减”消元法是对《九章算术》“直除”消元法的改进,是对二元方程组解法的归纳。刘徽说:“以小推大,虽四、五行不异也。”即此法可推广到多元方程组。
3. 类比
类比推理是根据两事物在某些属性上相同而推出其他属性相同的思想方法。刘徽对这种“举一隅而三隅反”的方法很感兴趣,善于在已知法则的基础上用类比法得到新的法则。
例如,商功章第二十五题的圆锥体积公式为:“下周自乘,以高乘之,三十六而一。”设圆锥下底周长为c,直径为d,高为h,则圆锥体积V=c²h/36。刘徽说:“此术亦用周三径一之率。”以类比推理证明了这一公式:
令自乘,以高乘之,为三方锥之积分。母自相乘,得九为法。又当三而一,约方锥之积。从方锥中求圆锥之积,亦犹方幂求圆幂,亦当三乘之,四而一,得圆锥之积。
依刘徽注文,,设圆锥体积为V,其外切方锥体积为U,则

所以

因为“从方锥中求圆锥之积,亦犹方幂求圆幂”,而方幂与圆幂之比为4∶π,所以

U∶V=4∶π

所以

推理的关键是把方锥中的圆锥与方幂中的圆幂做了类比,从而由方锥体积得到圆锥体积。
刘徽在求圆台体积时说:“从方亭求圆亭之积,亦犹方幂中求圆幂。”在求圆锥侧面积时说:“圆锥见幂(侧面积)与方锥见幂,其率犹圆幂之与方幂也。”推理方法都属类比,其特点是以比较简单的已知命题为基础,经过类比而把握较难的命题。
(七) 刘徽的实验思想
“析理以辞”反映刘徽的逻辑思想,“解体用图”则反映他的实验思想,两者是相辅相成的。对《九章算术》中的法则和公式,刘徽通常要问一句:“何以验之?”他明确提出:“数亦宜然,重其验耳。”^[26]“不验”则表明该公式不正确,说明刘徽对实验是很重视的。推而广之,这种思想还表现在与数学相关的物理。刘徽说:“黄金方寸,重十六两。金丸径寸,重九两。率生于此,未曾验也。”^[27]
刘徽的数学实验,既包括平面图形,如“何以验之,更造密率”^③,又包括立体图形,如“何以验之,取立方棋八枚……”^[28]他反对那种没有根据的空言,认为“凭空设法,数昧而难譬”^[29],又说:“以空言难晓,故特系之禾以决之。”^③
在刘徽的体系中,靠平面图形检验称为“图验”,靠立体图形检验称为“棋验”。在刘徽看来,“图”是客观事物的直观反映,如圆形代表圆田,方形代表方田,等腰三角形代表圭田,直角梯形代表邪田,等腰梯形代表箕田,弓形代表弧田,圆环形代表环田,等等。一个数学公式若能“验之以图”,则必然符合实际。例如勾股章“勾股容圆”问题给出公式

刘徽用图验法证明,要点如下:
勾股相乘为图之本体,朱青黄幂各二,倍之则为各四。可用画于小纸,分裁邪正之会,令颠倒相补,各以类合,成修幂。圆径为广,并勾股弦为袤。
用现代数学语言表述,其证明过程分为三步:
(1) 由圆心向勾、股、弦三边分别作垂线,把勾股形分成三部分,分别涂以朱色、青色和黄色,如图3-14所示。
(2) 用4个这样的勾股形拼成如图3-15所示的矩形,并把每个朱幂、青幂一分为二,共得20个子图。
(3) 把这20个子图重新拼合成一个比较细长的矩形,如图3-16所示,其长为勾、股、弦之和,其宽为圆的直径。显然,该矩形面积是原勾股形的四倍,即

该面积又等于长乘宽,长为勾、股、弦之和,宽为圆的直径,所以

2×勾×股=圆径×(勾+股+弦)

所以

图3-14

图3-15

图3-16

刘徽的“棋”是木制的立体模型,用来代表有“高深之积”的客观事物。如能“验之以棋”,便可看作已被客观事物所验证。因此,棋验法在《九章算术注》中应用很普遍。
例如,少广章开立圆术曰:
置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。
丸即球,设球径为D,体积为V,则该术给出公式

或

旧术认为球体积是外切圆柱体积的3/4,圆柱体积也是外切立方体积的3/4,故球体积是外切立方体积的9/16。刘徽通过棋验法,说明球体积不是外切圆柱体积的3/4。他说:
取立方棋八枚,皆令立方一寸。积之为立方二寸(即8立方寸)。规之为圆囷(圆柱)径二寸,高二寸。又复横规之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马,圆然也。按合盖者方率也,丸居其中即圆率也。推此言之,谓夫圆囷为方率,岂不缺哉?
对以2寸为边的立方体,内切二圆柱,如图3-17所示。两圆柱的共同部分称“牟合方盖”,如图3-18所示。它的1/8像一个阳马,只是两个侧面为圆柱面。方盖外切于一个半径一寸之球,球体积与方盖体积之比等于圆面积与外切正方形面积之比(即π∶4)。可见旧术把外切圆柱体积当“方率”是不对的,球体积不是外切圆柱体积的3/4。

图3-17 内切圆柱

图3-18 牟合方盖

(图3-17及图3-18取自钱宝琮《中国数学史》第70页)
(八) 刘徽的创新思想
创新思想是一个卓越科学家必备的素质。没有这一点,取得重大科学成就是不可想象的。我们说刘徽是一位大数学家而不是一般的数学家,就在于他有丰富的创新思想,他既有创新的动机,又有创新的能力,所以才成就了数学上的一番大业。
从数学体系来说,他开辟新的研究领域,把工作重点由算法转为证明,从而把一个算法体系升华为理论体系;他还对这一体系进行重要补充,以率为基础补写《重差》一卷(详见第五节),这些是带有全局意义的创新。下面着重谈他在体系内部的具体创新。
1. 创立新方法
刘徽的《九章算术注》并不局限于对旧术的解释和证明,而是提出许多新的计算方法和证明方法,统称为“新术”。择要列举如下:
(1) 卷一“圆田新术”即割圆术。刘徽对他创立的这一方法很重视,称为“徽术”,运用到各种与圆有关的问题中。
(2) 卷一“弧田新术”。这是刘徽在批评了《九章算术》旧术不精之后,用割圆术给出的一种可以求到任意精度的科学方法。
(3) 卷四“开方新术”。这是刘徽对开不尽的数给出的一种求平方根近似值的方法,书中已有十进分数即小数概念。
(4) 卷四“牟合方盖”。这是刘徽为推求球体积公式而设想的一个新几何体,展现了数学之美。它与内切球体积之比为4∶π的结论由“合盖者方率也,丸居其中即圆率也”而得。这句话的现代解释为:“两个等高的立体,若横截面的面积之比为一常数,两立体的体积之比也等于该常数。”可称为“刘徽原理”,刘徽在推求其他体积公式时多次用到。如前述刘徽以类比法推求圆锥、圆台体积,便蕴含刘徽原理。祖暅原理“幂势既同则积不容异”实为刘徽原理的特例,他正是沿着刘徽的思路最终求得正确的球体积公式。
(5) 卷五“阳马新术”。刘徽在证明阳马体积公式时提出“邪解堑堵,其一为阳马,一为憋臑。阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。”并以极限方法证明之,这种证法称“阳马新术”。
(6) 卷八“正负新解”。与《九章算术》的正负术相比,刘徽的思想新在以“得失相反”定义正负,认为“言负者未必负于少,言正者未必正于多”。
(7) 卷八“方程新术”。《九章算术》的“方程”解法为“直除”,即相减消元法。刘徽提出的“新术”为互乘对减,比原术简便,与今解线性方程组的方法一致。如前所述,刘徽还给出他进行方程同解变形的一整套理论。
2. 提供新视角
刘徽在注解《九章算术》原术之后,常常换个角度考虑问题,提出新的解决办法,这些办法不一定是刘徽创造,可以是《九章算术》原有而在其他地方使用的。刘徽在此处提出,就有了打开思路、举一反三的积极作用,体现了刘徽的创新思想。
例如商功章刍童术后,刘徽说:
为术又可令上下广袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四阳马。上下广袤互相乘,并而半之,以高乘之,即四面六堑堵。与二立方并之为刍童积。又可令上下广袤互相乘而半之,上下广袤又各自乘,并以高乘之,三而一,即得也。
再如勾股章勾股容圆术注中,刘徽证明原术后说:
又可以股弦差减勾为圆径。勾弦差减股为圆径。又弦减勾股并,余为圆径。以勾弦差乘股弦差而倍之,开方除之,亦圆径也。
这都是刘徽对旧术作的新思考。
在《九章算术注》中,这种以新视角考察旧术的例子还有很多,今有术本是粟米章给出的一种计算方法,刘徽用它解决了其他各章的20多个问题。刘徽的思想方法有利于数学体系的充实和提高。