三 数学体系的形成——《九章算术》

数学体系是由若干数学知识相互联系而成的整体。《九章算术》的作者具有以法御题的思想,并注意前面的知识为后面的知识服务,从而使其成为一个算法体系,也是我国第一个数学体系。
(一) 《九章算术》简介
关于《九章算术》的成书,刘徽在《九章算术注序》中说:
汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故校其目则与古或异,而所论者多近语也。
可见该书经过多人之手,最后由张苍、耿寿昌定稿成书。自戴震(1724—1777)以来,不时有学者否定张苍删补《九章算术》,提出由别人成书的推测。但笔者认为,诸说均不足以推翻刘徽的观点。由常识而知,若作序者不明原书作者,断不可擅写,更何况刘徽是一位举世公认的学风严谨的学者。刘徽去古未远,他所接触的秦汉数学史料比清代以后学者多得多,因此刘说可信。
《九章算术》中的200多个问题最初都写在竹简上。张苍在秦代为御史,又精通数学,所以数学题简的搜集、整理和研究是他分内的事。刘邦起兵后,他随刘邦西征,后受到重用。萧何为相时令苍以列侯居相府。刘邦曾命张苍“定章程”^[1],章即历算之术,程指权衡之法,可见张苍的一项重要任务是处理和制定有关数学的规范。萧何藏书丰富,再加上张苍原已掌握的典籍,为他的工作提供了方便。他对《九章算术》的删补当在这一时期完成,《算数书》一类的竹简是他的参考书。
汉宣帝时期(前73—前49)的耿寿昌通过数学官简^[2]的整理,再次删补《九章算术》,使之定型,流传至今。因此,《九章算术》成书于公元前一世纪中叶,略晚于《周髀算经》。我们今天已很难区分张苍与耿寿昌的工作了。我们关心的是《九章算术》的内容及特点。
该书共246题202术(解题法则),按问题性质分为九章:
第一,方田。包括38题21术,讨论平面图形的面积算法,含分数的四则运算。
第二,粟米。包括46题33术,讨论与各种粮食交换有关的问题,所用方法是以“今有术”为主体的比例算法。
第三,衰分。包括20题22术,讨论比例分配算法和等差、等比数列,不少问题与工商业有关。
第四,少广。包括24题16术,讨论面积和体积问题的逆运算,即已知面积、体积求边长,主要方法是开平方、开立方。
第五,商功。包括28题24术,讨论各种立体图形的体积算法,如城墙、堤坝和沟渠等,有关体积公式被广泛用于土木工程。
第六,均输。包括28题28术,讨论运输、抽税等问题,所用方法是较复杂的配分比例,有一些“算术难题”。
第七,盈不足。包括20题17术,主要讲盈亏问题的解法及其在各种实际问题中的应用。
第八,方程。包括18题19术,讨论线性方程组解法及正负数加减法则,涉及的问题多与农业有关。
第九,勾股。包括24题22术,讨论勾股定理、勾股测量和各种解勾股形(即直角三角形)问题。
以上9部分,涵盖了初等数学中算术、代数与几何的大部分内容,构成一个比较完整的数学体系。
这个体系有三个特点:
一是以算法为中心,以法御题。其算法是机械化的,具有构造性。大部分术文是抽象的计算公式或计算程序,程序中的每一步均可通过数学手段构造出来,而每一程序的步骤都是有限的。《九章算术》不关心图形性质,书中没有关于平行、垂直、三角形全等或相似的任何命题,尽管在解题中不能不应用到这些性质。从某种意义来说,书中的几何问题被算法化了。
二是以应用为目的。《九章算术》中的算法都是为解决实际问题而设,没有独立于应用的算法。这些实际问题,几乎囊括了秦汉社会生活的所有方面,包括农田建设、商品交换、土地测量、土木工程、运输、征税和手工业生产等。应该说致力于应用的精神决定了其数学方法是构造性的。吴文俊曾以打苍蝇比喻构造性数学和非构造性数学,非常形象。他说,非构造性是要证明屋里存在苍蝇,存在几只苍蝇;构造性是要给出打苍蝇的办法,把苍蝇打死。^[3]
三是由浅入深,前面的知识为后面的知识服务。由最浅的长方形面积求法开始,以最深的解勾股形结束。算法依次为分数四则运算、今有术、比例分配、开平方、开立方和各种立体的体积计算,盈不足术、线性方程组解法及正负数运算。各章内容也基本上由浅入深,如第一章由直线形到曲线形,直线形中由直田(长方形)到圭田(三角形)和邪田(梯形);曲线形中由圆田到弧田(弓形)、环田(圆环形);运算数据则由整数到分数。
《九章算术》自诞生以来,便成为中国传统数学的范本。正如吴文俊所说:“它承前启后,一方面总结了秦汉以前的数学成就,另一方面又成为汉代以来达两千年之久数学研究与创造的源泉。”^[4]实际上,《九章算术》不但是一部重要的数学教科书,而且在数学著作方面也成为数学家著书立说的典范。它深深地影响了我国数学发展的方向,使中国古代数学成为社会生产和生活的重要手段,成为促进科学发展的得力工具。
但《九章算术》对各种数学概念没有定义,而是采取约定俗成的做法;公式和解法也无推导或证明。一些简单公式是可以通过直观得出的。但许多复杂公式必由推导而得,书中没有相关文字,是因为作者重应用而轻理论,不关心体系自身的完善。因此,《九章算术》是一个算法体系而非理论体系。
(二) 数学表达的规范化
张苍、耿寿昌整理《九章算术》时对数学的表达方式做了规范化处理。由耿寿昌完成的这项工作是中国数学史上第一次统一数学名词和规范表达方式的工作,标志着中国数学发展到一个新阶段。这与秦汉时期奠定统一国家基础的进程同步,从大背景来说是适应社会发展的需要。
与《九章算术》相比,《算数书》的数学表达方式纷杂,没有统一格式,关于分数和除法,问题的起首、发问和答案都有多种表达方式。我们不能以《九章算术》为标准,认为其他表达方式有误。实际上,《算数书》数学名词的纷杂和格式的多样性反映了张苍以前中国传统数学的真实情况,是先秦数学所固有的,也是数学早期发展的必然现象。当时诸侯林立,百家争鸣,各国语言文字有异,数学术语不可能统一。秦朝短命,也来不及统一。
张苍、耿寿昌在整理、编定《九章算术》时,才完成了数学术语的统一与格式的规范化。他们统一了分数的表示,选取先秦的一种方式,将不带单位的分数统一表示为“b分之a”,将带单位的分数如尺表示为“m尺b分尺之a”,例如“九十一分之四十九”(卷一第六题)、“六十步三分步之一”(卷一第三二题)等。他们统一了除法的表示,也是选取先秦的固有方式,先指明法(除数)再指明实(被除数),在术文中称“实如法而一”。他们还统一了问题的起首与问答,对问题的起首用“今有”,同一条术文有多个例题时,自第二个题目起用“又有”,发问用“问……几何”的形式,答案则写作“答曰”。例如:
今有田广七分步之四,从五分步之三。问为田几何?答曰:三十五分步之十二。
又有田广九分步之七,从十一分步之九。问为田几何?答曰:十一分步之七。
又有田广五分步之四,从九分步之五。问为田几何?答曰:九分步之四。^[5]
《九章算术》的规范化工作,影响中国数学2000年。直到19世纪前期,中国数学著作中的分数、除法和答案等诸多表示法一直沿用《九章算术》模式,19世纪后期才在西方数学影响下有所改变。进入20世纪以后,这种规范同中国传统数学一起退出历史舞台。
(三) 分科中的数学思想
《九章算术》中的“算术”相当于数学,本身没有分科。为了讨论方便,笔者将其内容归为算术、代数和几何三类,分述其中的数学思想。
1. 算术
(1) 比例思想
《九章算术》中的“今有术”是比例问题的一般解法,载于卷二“粟米之法”后:
今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。
依术列式:

它直接源于比例的基本性质。例如卷二第二九题:
今有菽二斗,欲为豉。问得几何?
答曰:为豉二斗八升。
术曰:以菽求豉,七之,五而一。
这便是一道利用菽、豉比例由菽求豉的应用题。更复杂的比例问题见于衰分章和均输章。
《九章算术》中的“衰分”即按比例分配。衰,音cuī,递减的意思,衰与分合用,表示依次分配。衰分术曰:
各置列衰,副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。不满法者,以法命之。
例如卷三第一题:
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,共猎得五鹿、欲以爵次分之,问各得几何?
答曰:大夫得一鹿三分鹿之二,不更得一鹿三分鹿之一,簪袅得一鹿,上造得三分鹿之二,公士得三分鹿之一。
术曰:列置爵数,各自为衰,副并为法。以五鹿乘未并者,各自为实。实如法得一鹿。
“列置爵数”,即大夫5,不更4,簪袅3,上造2,公士1;“各自为衰”即5∶4∶3∶2∶1;“副并为法”即以5+4+3+2+1=15为法;“以五鹿乘未并者,各自为实”即5×5=25,5×4=20,5×3=15,5×2=10,5×1=5,分别以5个得数为实;“实如法而一”即实除以法,依次得到

(2) 盈不足术
在算术方面,这是《九章算术》中理论水平最高、国际影响最大^[6]的一部分内容。其主要思想体现在共买物的问题:今有人共买物,每人出A,盈a;每人出B,不足b。根据这两条假设便可求出适足之数、物价和人数:
盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者通之。盈、不足相与同其买物者,置所出率,以少减多,余以约法、实。实为物价,法为人数。^[7]
“维乘”即四数交叉相乘。该术可用公式表达如下:

式中假设A>B。若B>A,则分母为B-A。例如卷七第一题:
今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问人数、物价各几何?
依术列式:

2. 代数
(1) 方程
《九章算术》中的“方程”相当于方程组,其本意是由若干程式组成的方阵。方程概念的产生在思想史上是十分重要的,它标志着从算术到代数的飞跃,因为其中蕴含“未知数”的思想,后来以特定文字代表未知数的做法即源于此。
例如方程章第一题:
今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何?
答曰:上禾一秉,九斗四分斗之一;中禾一秉,四斗四分斗之一;下禾一秉,二斗四分斗之三。
依“方程术”列式如下(序号为笔者所加):
① 置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,于右方。中、左禾列如右方:

3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26^[8]

② 以右行上禾遍乘中行,而以直除。
除即减,直除即直接相减,是一种消元法。用上禾之系数3遍乘中行各项,得

6x+9y+3z=102

直除上行2次,得

5y+z=24

③ 又乘其次,亦以直除。
以上禾系数3遍乘下行各项,得

3x+6y+9z=78

直除上行,得

4y+8z=39

④ 以中行中禾不尽者遍乘左行,而以直除。
“不尽者”即系数不为1者,指中禾系数5。以其遍乘4y+8z=39,直除5y+z=24四次,得

36z=99

⑤ 左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。

所得即下禾一秉之值。
⑥ 求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。余如中禾秉数而一,即中禾之实。
以除数4遍乘5y+z=24,得

20y+42=96

此法比“代入法”稍繁,但不失为一种有效方法。
⑦ 求上禾,亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一,即上禾之实。
以除数4遍乘3x+2y+z=39,得

12x+8y+4z=156

至此,三元一次方程组获解。
(2) 正负术
正负数运算称“正负术”,对于解方程组来说是不可或缺的。因此,方程章第一题“方程术”的最后一句便是“方程,各置所取,以正负术入之”。但首次出现正负问题是在第三题:
今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗。上取中,中取下,下取上各一秉而实满斗。问上中下禾实一秉各几何?
题后给出“正负术”:
同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。
所谓同名、异名即今同号、异号,除为减,益为加。前四句给出正负数减法法则:同号两数相减,则绝对值相减;异号两数相减,则绝对值相加;若被减数为零,减数正则结果负,减数负则结果正。后四句给出正负数加法法则;异号两数相加,则绝对值相减;同号两数相加,则绝对值相加;零与正数相加为正,与负数相加为负。
负数概念及正负数运算法则的提出在数学史上是一个重大事件,因为它使数学突破正数范围,从相反意义上建立起另一支数系,从而扩充了减法功能。同期希腊人忙于几何证明,没有注意相反意义的数。公元7世纪,印度人婆罗摩笈多(Brahmagupta,598—665)独立提出负数概念,说明负数的产生是数学发展的必然结果。
(3) 开方术
开方即求一个数的方根,是乘方的逆运算,但其步骤比乘方复杂得多。《九章算术》少广章的开平方、开立方,鲜明地体现出机械化特点。开方术的提出在数学史上有深远意义,它使高次方程的数值解法成为可能。
开平方术如下:
置积为实。借一算,步之,超一等。议所得,以一乘所借一算为法,而以除。除已,倍法为定法。其复除,折法而下。复置借算,步之如初,以复议一乘之,所得副以加定法,以除。以所得副从定法。复除,折下如前。
下面以少广章第十二题为例说明开方程序:
今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?
答曰:二百三十五步。
依术演算如下:
布置筹式如图3-4(a)所示,其中55225叫“实”即被开方数。最下面的筹叫“借算”,代表最高项系数。该筹式表示的方程为

x²＝55225

将“借算”向左移动,每步移二位,移二步,停在“实”的万位下,如图 3-4(b)所示。这时“借算”表示的不再是x²而是10000x₁²,原方程变为

10000x₁²＝55225

议得x₁大于2小于3,就在实的百位上置2,做为平方根的第一位数。以议得的2乘10000得20000,放在实之下,借算之上,叫“法”。再以2乘法得40000,从实中减去,余15225,如图3-4(c)所示。
把法加倍,向右移一位,变为4000,叫定法。把借算向右移二位,变为100,如图3-4(d)所示。这相当于方程

100x²₂+4000x₂＝15225

议得x₂大于3小于4,就以3为平方根的十位数,以3乘100得300,加入定法得4300,再以3乘4300,从实中减去,余2325,如图3-4(e)所示。
以300与4300相加,得4600,向右移一位变为460,这是第三位方根即个位的定法。把借算向右移二位,变为1,如图3-4(f)所示,这相当于方程

x²₃+460x₃＝2325

议得x₃＝5为平方根的个位,以5乘借算1加入460得465。以5乘465,从实内减去,恰尽,得55625的平方根235,如图3-4(g)所示。

图3-4 开平方

从文字叙述来看,筹算开方似乎很繁,实际摆筹运算是相当简便的。开平方术内实际包含“开带从^[9]平方”之法,因为从求根的第二位起,便是求形如x²+bx=c(b,c为正数)的方程的正根。例如勾股章第二十题:
今有邑方不知大小,各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步,折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何?

图3-5 邑方图

所谓邑方,即正方形小城的一边之长。如图3-5所示^[10],设邑方为x,根据题意列出方程

x²+34x=71000

书中用“带从开方法”求其正跟,这是我国见于文献的最早的一般二次方程。
3. 几何
在研究几何图形时,《九章算术》作者的风格是与希腊人不同的,他们不关心图形性质而关心面积、体积的求法。在研究勾股定理时,他们也不重视定理的证明而重视其应用。
(1) 面积
《九章算术》的面积问题见于方田章,包括直线形和曲线形。最简单的直线形是“方田”即长方形。
方田术曰:广从步数相乘得积步。
广即宽,设为a;从即长,设为b,并设面积为S,则方田术给出公式

S=ab

下面给出圭田(三角形)、邪田(梯形)的面积公式。
圆是曲线形中的基本图形,书中给出四个面积公式:
术曰:半周半径相乘得积步。又术曰:周径相乘,四而一。又术曰:径自相乘,三之,四而一。又术曰:周自相乘,十二而一。
即

式中c为圆周,d为直径,r为半径。在此基础上给出环田面积公式。从理论上来说,这些公式都是正确的。但因圆周率取3,所以误差较大。这说明《九章算术》的作者虽重应用,但不求精。其实,即使不掌握求圆周率的科学方法,只要量出圆周的实际长度,用其除以直径,便可轻易得出圆周率的两位有效数字。
(2) 体积
《九章算术》的体积问题集中于商功章。商功的本意是解决工程量的分配,而要分配工程量,首先要计算土木工程的体积或容积,体积问题便成为商功章最重要的内容。
方堢即底面为正方形的棱柱,是书中最简单的立体。求积方法为:
方自乘,以高乘之,即积尺。
书中给出一般长方体以及正四棱柱、底面为梯形的直棱柱、圆柱、正四棱锥、圆锥、正四棱台和圆台等基本几何图形的体积公式,又讨论了几种比较特殊的几何图形,如图3-6所示。
堑堵即底面为直角三角形的直棱柱,体积为

阳马即底面为长方形且有一棱垂直于底面的四棱锥,体积为

鳖臑^[11]即底面为直角三角形且有一棱垂直于底面的棱锥,体积为

刍童即上、下底面为长方形的台体,体积为

图3-6

上述公式囊括了当时所能见到的各种体积的计算法则,其他形状的图形大都可以转化为这些图形中的一种或几种。书中还给出球体积公式,但不正确。
(3) 勾股
作为一个数学体系,《九章算术》注重知识的完整性。勾股章便给出三种形式的勾股定理:
勾股术曰:勾股各自乘,并而开方除之,即弦。
又股自乘,以减弦自乘,其余开方除之,即勾。
又勾自乘,以减弦自乘,其余开方除之,即股。
如图3-7所示,设勾a股b弦c,则勾股术可表为

图3-7 勾股形

图3-8 锯圆材图

书中用勾股定理解决了大量实际问题,例如勾股章第九题:
今有圆材,埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺。问径几何?
如图3-8所示,设r为半径,由勾股定理得

r²＝5²+(r-1)²

解方程得

2r=26(寸)

即圆材直径。
(四) 以法御题的算法体系
综观《九章算术》,是一个以法御题的算法体系。作者从实际问题中归纳出一般算法,用来解决同类的问题。以算法为中心,而不是以习题为中心,正是《九章算术》高于《算数书》的地方。例如勾股章,先分别给出由勾股求弦、由弦勾求股和由股弦求勾三题,从中归纳出勾股定理的三种形式,后面各题均用勾股定理求解。方田章先给出两个求长方形面积的习题,然后给出“方田术”,体例与勾股章相类。粟米章将“粟米之法”和“今有术”放在卷首,卷中各题以此为据;衰分章亦把“衰分术”放在前面,如同龙首;少广章将“少广术”置于卷首,卷内则于诸开平方题后置“开方术”,诸开立方题后置“开立方术”,体例稍有不同,但都体现出以算法驾驭习题的思想。其他各卷无不如此,算法是一般的,适于同类习题,而非一题一法。
书中算法特征是机械化的,这不仅与西方的《几何原本》迥异,也未吸取《周髀算经》中的公理化思想。机械化算法程序清楚,便于操作,适合解决各种具体问题。
例如“约分术”分三个步骤:
(1) “可半者半之。”即进行观察,若分子分母都是偶数,先取其半。
(2) “不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。”等即等数,即最大公约数。
(3) “以等数约之。”其中第二步“以少减多,更相减损”是约分之关键,也是典型的机械化程序,可用现代语言翻译如下:对分数b/a进行约分,其中b<a,则依次从a中减去b,若减q₁次后所得余数r₁<b,则从b中依次减去r₁,若减q₂次后余数r₂<r₁,再从r₁中减去r₂……直至r_n-1＝r_n,该“等数”即a和b的最大公约数。该过程可在有限步骤内实现,是一种构造性方法。以分数(方田章第六题)为例,第二步可细分为如下七步:

前文所述《九章算术》中的方程术、开方术等,都是构造性的机械化程序。
《九章算术》全部问题来自当时人们的实际需要,开创了中国古代数学密切联系实际的风格。
《九章算术》着重于定量描述,即使是几何问题,也着重考虑其中的数量关系,形成中国古代数学以计算为中心的特点。
《九章算术》的所有术文都具有一般性,相当于今天的公式和计算程序,说明该书作者已经在进行理论概括。
作为中国历史上第一个数学体系,《九章算术》对于中国传统数学乃至朝鲜、日本和越南等东方国家数学的发展产生深远影响。
但是,《九章算术》也有明显的不足,主要是对数学理论不够重视,书中没有留下任何推导或证明。其实,书中许多公式和方法相当抽象,已非经验总结所能及,必有推导过程。但该书作者似乎认为推导过程并不重要,只要给出公式供人应用就行了。书中有的公式错误,如球体积公式;有的公式误差较大,如弧田公式;有的概念不清,因而得不到正确公式,如宛田;圆周率取3也过于粗糙。凡此种种,说明其理论水平不高。从时代背景来看,当时社会上的论证方法主要是归纳法,这种方法在数学上只能得出或然性结论,还不是真正的数学证明。因此,《九章算术》在理论上是不完整的。