二 《周髀算经》中的数学思想

作为《算经十书》第一部的《周髀算经》不是一部专门的数学著作,而是我国最早的天文算术书。该书中的天文问题向数学提出新要求,数学思想则为体系的建立准备了一定的条件。
(一) 书名与内容
此书原名《周髀》,陈子答荣方“周髀者何”的问题时说:“古时天子治周,此数望之从周,故曰周髀。髀者,表也。”^[1]表即测日影的标杆,“周髀”的本义是周代通过标杆进行天文观测与计算。书中的数学内容受到后人重视,唐初李淳风等整理《十部算经》时,便在“周髀”后加“算经”两字,予以收入。
《周髀》所记之事在周初,成书在西汉,经历了漫长的历史。实为多人续写而成,故不具作者。赵爽说陈子答荣方问“非《周髀》之本文”,可见最初的《周髀》不含这部分内容。
从天文角度来说,《周髀》是一部盖天说著作,建立了中国第一个宇宙模型,即“天象盖笠,地法覆槃”^[2],全书分上下两卷。卷上是理论部分,首先叙述了西周初年周公与商高的一段问答,该对话是对中国数学早期理论和实践的一种概括。接着详述了陈子答荣方问,以陈子的名义阐述了数学的特点及思想方法。然后是用于测天的日高图及方圆关系图,最后是七衡图及其解说。方圆关系分为方内接于圆和圆内切于方两种情形讨论,而七衡图则是以北极为中心的七个圆,如图3-1所示,用以解释季节和昼夜的变化,七衡的直径是一等差数列。卷下以“术”的形式给出测天的各种方法,包括用表测量二十八宿距度的方法。

图3-1 七衡图

(二) 公理化尝试
西方科学史上的公理化方法,在天文学领域表现为构建宇宙的几何模型,托勒密(Ptolemy,约100—170)依地心说建立的模型成为经典。在中国古代,曾出现盖天说、浑天说和宣夜说等不同的宇宙学说,但只有盖天说建立起明确的几何模型,这是一次公理化的尝试。^[3]虽然不足以和西方的公理化媲美,但在中国的学术思想史上还是占有一席之地的。东方和西方都在一定时期产生公理化思想,再次说明数学发展是有内在规律的。
《周髀算经》上卷在叙述盖天说时给出“日影千里差一寸”的公式:
夏至南万六千里,冬至南十三万五千里,日中立竿无影,此一者天道之数。周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也;正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸;正北千里,勾一尺七寸。
法曰:周髀长8尺,勾之损益寸千里。
如图3-2所示,即

h=8尺, l=1尺6寸
L=16000里

显然

即日影千里差一寸。
将h=8尺代入比例式,则

得

图3-2 日影示意图

这便得出天地相距8万里的结论。
《周髀算经》给出日影千里差一寸的公式后,便用于各种测天问题,如卷上第四节:
今立表高八尺,以望极,其勾一丈三寸,由此观之,则从周北十万三千里而至极下。
如图3-2所示,令S为北极,则有

上述公式及其应用有一个前提——天与地平行,古人认为这是不证自明的,因此可视为公理,由此导出“日影千里差一寸”的公式并被广泛用于天文测量,这便是公理法的尝试,是一种演绎推理。用现代科学去衡量,该前提不成立,所得结论也与实际天象不符。但从数学思想的角度考虑是值得称道的,作者在追求数学美,这是一种自洽的内在美。
西汉时期,追求应用是数学发展的主流,游离于主流之外的公理化思想没有被融入即将形成的体系。但该框架内的一些数学思想和方法成为构建数学体系的材料,上述比例思想便是其中之一。
(三) 日高术与勾股
日高术是用勾股定理求天体高远的方法。《周髀算经》卷上载:
以勾为首,以髀为股。从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日,则八万里。若求邪(斜)至日者,以日下^[4]为勾,日高为股。勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日。

图3-3 日高术

“邪至日”即弦,如图3-3所示,其求法为

此为勾股定理的标准形式。书中在用勾股定理计算时,开方已至六位,如“日下至周五万九千五百九十八里半”,“日下至周二十一万四千五百五十七里半”。虽然书中没有记载具体的开方法,但作者掌握开平方之法是没有疑问的。
(四) 插值思想
最初的天文研究靠直接观测,当人们意识到某些天文现象是有规律变化的函数,可用插值法得到两次观测数据之间的数据时,内插法便产生了。所谓内插法,就是已知若干自变量对应的函数值,求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法,古代常用来推算日、月、五星^[5]的行度,为制定历法服务。内插分两种,等间距内插和不等间距内插。等间距,指的是自变量的间距相等,设自变量为x,等间距h,函数关系为f,则x+nh对应着函数f(x+nh),若函数值之差f(x+nh)-f[x+(n-1)h](即一次差分)为一不等于0的常数,则用一次内插法;若这些函数值之差的差(即二次差分)为一不等于0的常数,则用二次内插法,依此类推。用现代数学观点来看,n次内插法反映的是n次函数关系。
《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法。卷下关于二十四节气八尺标杆日影长的数据只有冬至和夏至是实测的,其余都由计算而得,并假定每两个相邻节气的时间间隔相等。书中载:
凡八节二十四气,气损益九寸九分、六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何?
其中“损益”数分由下式求得

(1350-160)÷12

设f(a),f(b)分别为夏至和冬至日影长,Δ为损益数,则Δ=[f(b)-f(a)]。 设f(n)是从夏至到冬至的第n个节气日影长,则

f(n)=f(a)+nΔ

例如求第5个节气日影长,便有

(五) 类以合类的思想
陈子是周代的天文数学家,荣方是一个天文算学的爱好者,他仰慕陈子的数学才能,曾向陈子求教。陈子说:
此亦望远起高之术。而子^[6]不能得,则子之于数,未能通类。是智有所不及,而神有所穷。夫道术,言约而用博者,智类之明。问一类而以万事达者,谓之知道,今子所学,算数之术,是用智矣。而尚有所难,是子之智类单。夫道术所以难通者,既学矣,患其不博;既博矣,患其不习;既习矣,患其不能知^[7]。故同术相学,同事相观,此列士之愚智,贤不肖之所分。是故能类以合类,此贤者业精习知之质也。^[8]
这段论述在收入《周髀算经》时,毫无疑问经过后人的加工,但基本思想当属陈子。这是中国数学思想史上一段相当精彩的论述。
陈子认为,学习数学如能触类旁通,便可达万事,这样的人叫“知道”,即懂得数学道理,否则为“不知道”。数学的道理和方法之所以难掌握,首先在于学得少,知识不广;其次,学得广博了一些,但还不熟练;再次,学得熟练了,但不能用到同类事物上。这实际上给出了学习数学的三个层次——博、习、知。所以方法相同的,应当掌握它们的内在联系;事物相同的,应在相同之中找出差异。这就是智和愚、贤和不肖的区别。而“类以合类”是贤者精通数学的实质。
段末的“类以合类”乃点睛之笔,道出了数学的特点,掌握了这一特点的“道术”(数学方法)才能“言约而用博”。学习数学应注意“通类”,做到“类以合类”,“问一类而以万事达”,这种境界称为“知道”。这不仅是对当时数学的总结,也规范了其后数学著作的风格。《九章算术》就是按“类以合类”的思想编纂的。