(一) 秦简《数》[1]
今人所谓“书”或“著作”是用纸印成的。从这个意义来说,现存最早的算书为《周髀算经》。但在汉代发明纸以前,书是以简的形式出现的。不管是竹简还是木简,都不易保存,除非后来被印成书,我们很难见到。众所周知,20世纪出土的汉简《算数书》是一部完整的数学著作。2007年年底,湖南的岳麓书院从香港收购一批秦简,内有220余枚是关于数学的,数量超过《算数书》。因其中一块简(0956号)的上面写有“数”字,故称之为《数》,这是我们所知最早的数学书。以前的数学知识散见于哲学(如《墨子》)、技术(如《考工记》)等非数学著作。把数学问题独立出来并予以分类,这种思想是建立数学体系的前提。从已公布的内容,可知这是一部应用算书,包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足和勾股各类。下面举例说明。
1. 方田类
计算矩形土地面积的例题:
田广三步四分步三,从(纵)五步三分步二,成田廿一步有(又)四分步之一。(0764号)
计算箕田即等腰梯形面积的例题:
箕田曰:并舌踵步数而半之,以为广,道舌中丈彻踵中,以为从(纵),相乘即成积步。(0936号)
计算圆形土地面积的例题:
周田卅步为田七十五步。(0812号)
显然,计算圆面积是以3为圆周率的。上述各题,与《九章算术》中的同类题相近。不同的是一些题记载着乘法口诀,当是为教学而用,如0778号简上便写有“三分乘四分,三四十二……五分乘六分,五六卅”。
2. 粟米类
记录谷物体积重量的换算关系:
黍粟廿三斗六升重一石,水十五斗重一石,粝米廿斗重一石,麦廿一斗二升重一石。(0780号)
记录谷物之间换算关系:
秫[2]千石为稻八百卅三石三斗少半斗,稻千石为秫千二百石。(0791号)
上述换算关系与《九章算术》的记载基本相同。
例题:
粟一石为米八斗二升,问米一石为粟几何?(2173号)
3. 衰分类
大夫、不更、簪袅、上造、公士,共除米一石,今从爵衰分之,各得几何?……述(术)曰:各置爵数而并以为法,以所分斗数各乘其爵数为实。(0978号,0950号)
其算法与《九章算术》同。
4. 少广类
少广。下有半以为二,半为一,同之三,以为法。亦置二百卌步,亦以一为二,为四百八十步,除,如法得一步。为从(纵)百六十步。(0942号)
5. 商功类
方亭[3]下方四丈,上三丈,高三丈,为积尺三万七千尺。(0959号)
方亭乘之,上自乘,下自乘,下一乘之,同之,以高乘之,令三而成一。(0830号)
术文的表述已相当规范了。设上底边为a,下底边为b,高为h,可依术文写出公式
V方亭＝(a2+b2+a×b)×h×1/3
6. 均输类凡三乡,其一乡卒千人,一乡七百人,一乡五百人,今上归千人,欲以人数衰之,问几何归几何?曰:千者归四百。(0943号)这是一个按人数摊派兵役的问题。
7. 盈不足类盈不足。三人共以伍钱市,今欲尝之,问人之出几何钱?得曰:人出一钱三分钱二。其述(术)曰:以盈、不足互乘母。(0413号)此题文字有脱漏,按“盈不足”算题的叙述模式,应有“人出二,盈一;人出一,不足二”等字,这样便与得数及术文相符了。
8. 勾股类有圆材埋地,不智(知)大小。斫之,入材一寸而得平一尺。问材周大几何?即曰:半平得五寸。令相乘也,以深一寸为法,如法得一寸。有(又)以深益之,即材径也。(0304号,0457号)此题与《九章算术》“勾股”章第九题实为一题。前述少广、商功、均输和盈不足题,《九章算术》中亦有类似记载。除“方程”类在《数》中没有外,《九章算术》所载九类算题中的八类都见于《数》,当然,也有少量题不能归入这八类。我们从中已可窥到《数》之作者的思想:① 试图囊括各种实用算法;② 试图按对象或算法分类。与《九章算术》相比,内容还不全面,也未形成明显的“以法御题”格局。可以说处于数学体系的孕育阶段。
(二) 汉简《算数书》1983年12月,湖北江陵张家山西汉古墓出土一部由竹简组成的数学专著——《算数书》
[4]。成书时间与《数》相近,绝大多数内容是在秦或先秦时期完成的。全书含70个小标题,100余条术文(或解法),80余道题目,包括分数四则运算法则、比例算法、盈不足术、面积体积算法,以及若干算数杂题,其特点是密切联系实际。
该书内容可分两大类:一类是数的运算法则,如“相乘”、“分乘”、“约分”、“合分”和“经分”等;另一类是应用问题及其解法,如“共买材”、“狐出关”、“息钱”、“税田”、“贾盐”、“粟求米”、“负炭”、“分钱”、“方田”、“以圆材(裁)方”、“以方材(裁)圆”和“里田”
[5]等。
《算数书》记录了许多数学基础知识,算法和题目类型的选择也力求全面,看来是一部普及性数学读物,便于基层官吏使用。
该书内容虽然丰富,但缺乏系统性,标题和内容都有重复。在70个标题中“羽矢”、“粟求米”和“少广”各出现2次。同样的“乘分术”分别在“相乘”条与“分乘”条中出现,而1平方里化顷、亩的方法重复了3次。另外,问题的提出方式,术文及答案的表述方式也是风格各异,没有统一格式。这些情况,说明《算数书》是从不同的书中摘录而成的,没有形成体系。
由于同期算书多已失传,《数》之内容尚未完全公布,《算数书》便成为我们探讨这一时期数学思想的最重要的文献。
(三) 适合应用的体例《算数书》的体例虽然不够规范,但综观全书,仍可看到编者致力于应用的思想。在实际中提出数学问题以后,人们关注的是问题的答案及获取答案的方法。因此,该书各标题的内容多按题→答→术的顺序编写。题即数学题例,答即本题答案,术是针对题例而归纳出的一般解法。该解法不仅适用于一题,而且适用于符合该题型的一类题。因此,这种体例反映出从特殊归纳出一般,再用一般指导特殊的思想。例如“出金”题:
出金 有金三朱[6]九分朱五。今欲出其七分朱六,问余金几何?曰:余金二朱六十三分朱卌四。其术曰:母相乘也为法,子互乘母,各自为实,以出除焉,余即余也[7]。以九分朱乘三朱,与小五相并。[8]
今有金七分朱之三,益之几何而为九分七?曰:益之六十三分朱廿二。术曰:母相乘为法,子互乘母,各自为实。以少除多,余即益[9]也。题中“曰”即答,两术与《九章算术》的“减分术”、“课分术”等价。
书中也有术文单独立条的,条名即术名,该条中无例题。例如:
少广,求少广之术曰:先置广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分[10]以尽所求分同之,以为法,即藉置田二百卌步,亦以一为若干,以为积步。除积步如法,得从(纵)一步。不盈步者,以法命其分。下面9个题目是“少广术”的应用,都是已知矩形面积及宽求其长的问题
[11],书中称宽边为广,长边为纵,即宽度小于长度。这种体例,已表现出“以法御题”的思想,即首先给出算法,用来驾驭一类应用题。
形式是为内容服务的,适合应用的体例下有不少实用的数学知识,特别值得称道的是记数方法及盈不足术。
《算数书》的“医”题中有关于负数的记载:
……得六十而负几何?曰:负十七算二百六十九分算十一。其术曰:以今得算为法,令六十乘负算为实。书中没有像《九章算术》那样解释负数及其运算法则,这一方面说明该书缺乏系统性,另一方面也说明负数运算已成为一种常用的计算方法,编者当作已知而未细说。可见在中国,负数概念及其乘法法则的产生不晚于秦。《算数书》时代用筹计算,有表示负数的方法。因书中无具体记载,不能确认其法。从后来的《九章算术注》推测,不外乎用摆法的斜正和颜色的不同两种方法来区别正、负数。
书中以特殊的汉字表示一些常用分数,也是很实用的,如“乘”中用“少半”表示1/3,用“半”表示1/2,用“大半”表示2/3:
乘,少半乘少半,九分一也;半步乘半步,四分一也;半步乘少半步,六分一也;少半乘大半,九分二也……“相乘”标题下有多处“乘半”运算。
盈不足术是古代解决盈亏问题的一种算术方法,通过盈和不足两次假设,使不能用直接算法求解的问题获得解答。《算数书》中记载了这种行之有效的方法。例如“分钱”题:
分钱 人二而多三,人三而少二。问几何人?钱几何?得曰:五人,钱十三。术曰:赢(盈)、不足互乘母,并之为实,子相从为法。皆赢(盈)若不足,子互乘母而各异置之,以子少者除子多者,余为法,以不足为实。其解法为:① 按题中条件列成3/2和2/3。分子3为盈数,分子2为不足数,分母上的2和3是两次假设的分钱数。② 两数的分子分母交叉相乘,得4和9。③ 以4+9做被除数,以分子2+3作除数,得5/13。这意味着13被5分,故13为钱,5为人。
(四) 《算数书》与《九章算术》的比较《九章算术》是我国最早的数学体系,而《算数书》是我们能见到的《九章算术》之前唯一的完整算书。因此,有必要对两书的体例及内容做些比较,从而揭示其思想的异同及相互关系。
1. 体例比较《九章算术》的体例特点是“以法御题”,先给出抽象的术文即算法,然后列出若干适用于此法的题目。有时在术文之前列有“总术”;有时将预备知识置于具体算法之前,如粟米章便将“粟米之法”,即各种米的互换比率置于该卷卷首,也是以法御题思想的体现。衰分、均输两章收入若干非衰分、非均输题目,就这部分内容而言可视为“应用问题集”,与全书体例不合,实为附录。
《算数书》的体例则相当复杂,没有形成统一格式。有的术与题在同一条中,条名为题名,如“出金”;有的术文单独成条,如“少广”,后有若干例题;有的题与术在同一条中,条名即术名,如“合分”;有的一条内解决若干问题,如“息钱”。以法御题的思想在书中有体现,如“少广”,但未居主导地位。
2. 内容比较《九章算术》中的九类问题,《算数书》已具备方田、粟米、衰分、少广、商功和盈不足六类,缺均输、方程及勾股的内容。方程及勾股是理论水平较高的两类,可见《算数书》的水平远逊于《九章算术》,但同时说明《九章算术》中的大部分内容在《算数书》时代已被普遍掌握。
分数四则运算法则、约分和通分方法等是《算数书》与《九章算术》共有的,但《算数书》的表述不如《九章算术》完整,如“乘分术”在《算数书》中写为:
母相乘为法,子相乘为实。在《九章算术》中写为
母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。3. 两书关系中国传统数学思想是沿着两条线向前发展的——追求数学的完美和数学的应用。春秋战国时期,前者以墨家为代表,后者以儒家为代表,都取得长足的发展。但在战国后期,应用思想渐居主导地位,能够直接应用的是算法而非理论,因此算法式数学受到普遍重视,开始出现专讲算法的数学著作。秦汉之际,算法式数学成为中国数学的主流,《算数书》和《九章算术》都以算法为主。
《算数书》的内容是从各书摘编的,大部分知识源于先秦,而其中的多数题型及算法在《九章算术》中都有反映,只是后者的算法更完整,文字更规范。这不仅说明《九章算术》的数学思想源于先秦,也说明该书的部分内容取自《算数书》。但它不可能以《算数书》为蓝本,因为许多重要内容是《算数书》没有的。也不会以其他任何一本算书为蓝本,如果那样的话,书中应给出其书名或作者,这是中国人的传统。同期算书多已失传,但《九章算术》的编著者应见过。笔者认为,该书便是在这些书的基础上编成,各书内容不出“九数”,即刘徽所说“九数之流则九章是矣”
[12]。《算数书》及《数》等同期算书,共同孕育了中国第一个数学体系——《九章算术》。
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