标准正态总体

标准正态总体图片（共2张） : 当μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是

f(x)=e^-,(-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线.
标准正态总体N在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题,即对任一的正态总体N来说,取值小于x的概率F＝Φ.
例　某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),已知成绩在90分以上(含90分)学生有12名.试问此次参赛的学生总数约为多少人?若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?
可供查阅的(部分)标准正态分布表

Φ(x₀)=P(x<x₀)

x0	1.2	1.3	1.4	1.9	2.0	2.1
0	0.8849	0.9032	0.9192	0.9713	0.9772	0.9821
1	0.8869	0.9049	0.9207	0.9719	0.9778	0.9826
2	0.8888	0.9066	0.9222	0.9726	0.9783	0.9830
3	0.8907	0.9082	0.9236	0.9732	0.9788	0.9834
4	0.8925	0.9099	0.9251	0.9738	0.9793	0.9838
5	0.8944	0.9115	0.9265	0.9744	0.9798	0.9842
6	0.8962	0.9131	0.9278	0.9750	0.9803	0.9846
7	0.8980	0.9147	0.9292	0.9756	0.9808	0.9850
8	0.8997	0.9162	0.9306	0.9762	0.9812	0.9854
9	0.9015	0.9177	0.9319	0.9767	0.9817	0.9857

解题思维导图

解　设参赛学生的分数为ξ,因为
ξ～N(70,100).由条件知
P(ξ≥90)=1-P
　　　　=1-F＝1-Φ
　　　　=1-Φ＝1-0.977 2
　　　　=0.022 8.
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,因此参赛总人数约为＝526(人).
(2)假定设奖的分数线为x分,则
P(ξ≥x)=1-P
　　　　=1-F＝1-Φ
　　　　　=＝0.095 1,
即Φ＝0.904 9,查表得≈1.31,解得x=83.1.故设奖的分数线约为83.1分.