数学——《九章算术》及《九章算术注》、《数书九章》、《四元玉鉴》
1998-12

直到明中叶以前,在数学的许多分支领域内,中国在世界上一直处于遥遥领先的地位。传说早在黄帝时代,隶首就创造了数字符号和计算方法。《史记》中记载大禹治水时已使用了规、矩、准绳①。从出土文物看,公元前三四千年的西安半坡遗址和公元前二千年的河南偃师二里头遗址出土的陶文中就有了数字;而通过对商代甲骨文中数字的研究,我们发现其中已具有了位置值制的萌芽,形成了十进制的数字系统。十进制记数法是我国古代人民对世界人民的一项不可磨灭的贡献。
在我国的上古及夏商周时代,一些专门技能和知识往往掌握在少部分人手中,并且世代相传。那时数学和天文的专门人才被称为“畴人”。到了春秋时代,周室衰微,政权下移,畴人子弟四散,私学开始兴起,数学知识逐渐普及。同时生产的发展,也促进了数学知识和计算技能的提高。从古代文献中我们得知,九九乘法表在当时是人们的常识,分数概念和分数运算也已形成,特别是像营造都城这样的大型土木工程,无疑需要更为复杂的数学运算。可见,春秋时代我国的数学已有了较高的水平,只是没有专门的数学著作传世而已。
战国至西汉,是我国以《九章算术》为代表的古代数学体系确立的时期。在春秋战国之交,我国社会完成了生产关系的转变,人们的生产积极性大为提高,兴修水利,开垦土地,改进耕作技术,同时手工业和商业也得到进一步发展。在这些活动中,数学知识得到普遍应用,为数学的发展提供了新的动力。如《考工记》中就有许多表示直角、钝角、锐角和分数等的专门术语。这时的思想界也异常活跃,诸子兴起,百家争鸣,不仅在社会文化方面取得了丰硕的成果,而且促进了思维规律方面的研究。其中的墨家和名家尤为重视逻辑推理和理性思辨,他们提出的一些命题具有深刻的数学内涵。像《墨经》中关于圆、平、端(点)等数学概念的定义就已十分严谨。应该说这时已具备了对数学知识进行总结整理的条件。据《周礼》记载,当时“士”阶层所受的数学教育有“九数”之称。“九数”指的是数学分为九个细目。东汉郑玄注《周礼》时引郑众之说:九数是“方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。”这与现传《九章算术》的篇目基本相同,只是第九为旁要而不是勾股。《周礼》一般认为成书于战国,因此,至迟在战国时代,由九数发展起来的数学著作可能就存在了。1983年底在湖北江陵张家山西汉墓中出土的《算数书》,是我国目前所见最早的数学著作,其中有许多内容与《九章算术》相似,有些标题和算题甚至完全一致。由于该书文字古朴,一般认为很可能是先秦著作或录自先秦著作。
汉代成书的《九章算术》,是先秦至西汉数学知识的总结和升华,在数学的许多方面取得了在当时世界领先的成就,确立了中国古代以计算为中心的数学体系。另外,我们前面谈到的《周髀算经》,由于其中的数学内容,也被后世视为重要的数学著作。
《九章算术》产生以后,我国古代数学研究有过两次高潮,第一次是在魏晋南北朝时期。这一时期数学著作的一大特点是为《九章算术》、《周髀算经》作注。据《隋书·经籍志》记载,仅注《九章算术》的著作就有八种。魏晋南北朝时期,由于战乱不断,政治斗争严酷,致使一些人采取以静制动的方针周旋于纷乱复杂的社会之中,于是清谈之风盛行。在思想领域,儒家的统治地位被削弱,取而代之的是以《周易》、《老子》、《庄子》为主的玄学。玄学力图通过抽象的思辨来论证现实世界的后面有一个产生和支配现象世界的本体,即世界的本原和根本规律。与之相适应,数学家们也开始重视数学理论的研究,试图把以前积累的数学知识建立在必然性的基础之上,三国赵爽的《周髀算经注》和晋代刘徽的《九章算术注》就是典型代表。在这一时期,还出现了一些新的数学著作,弥补了《九章算术》所未涉及的内容,开创了数学研究的新的分支。其中即有刘徽的《海岛算经》。该书原本附于《九章算术注》之后,后人将它独立成书。书中讨论了由《周髀算经》测日高法发展而来的重差术,并因书中首题是测量一海岛的高远而得名。《孙子算经》,约成书于公元400年前后,记述了筹算记数制度和乘除法则、分数和开方等。其中最著名的是“物不知数”题,书中提示的解法被后世推广成一次同余式组解法,由于是本书中首先提出这一课题,因此被史家称为“孙子定理”。《张丘建算经》,公元5世纪张丘建所著,主要成就是最大公约数与最小公倍数的应用、等差级数、开带从平方和不定方程等,著名的“百鸡问题”就是出于此书。北周甄鸾著有《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》三种数学著作。《五曹算经》是一部为地方行政官员编写的应用算术书,其中有十进制小数的萌芽;《五经算术》对儒家经典中需要数学知识的部分作了注释;《数术记遗》介绍了三种大数进位制及14种算法,反映了当时改进计算工具的历史情况。这一时期还有许多数学著作没能流传到今天,比较著名的有《夏侯阳算经》、祖冲之的《缀术》、董泉的《三等数》,前二种被收入唐代的“算经十书”,后一种在唐代也是教科书。《缀术》在数学上的成就极高,书中将圆周率精确到3.1415926到3.1415927之间,同时在球体积问题、二三次方程正负系数的开方问题等方面都有重大突破。
隋唐统治者在国子监设算学馆,在科举考试中设明算科,唐代还将汉唐间的十部重要数学著作加以整理注释,作为算学馆的教科书。这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》。其中《缉古算经》是唐初王孝通所著,书中20个问题大部分用高次方程求解,是现存最早的介绍开带从立方(即求三次方程的正根)的数学著作。中唐以后,由于工商业有较大发展,人们对简化筹算计算过程的要求较为迫切,于是出现了不少有关实用数学的著作,如龙受益的《算法》、江本的《一位算法》、陈从运的《得一算经》等。但是这些著作都没能传到今天,只有韩延的一部算书因原来的《夏侯阳算经》失传,被冠以《夏侯阳算经》之名补入“算经十书”,才流传下来。该书中记载了相当多的捷算方法,并对十进小数进行了推广。总的来说,唐代数学研究的成就不高。除了一行等人的二次内插法外,没有什么重大突破。究其原因,是唐代统治者对数学的重视不够,习学数学的人社会地位非常低,远不如以儒家经典和诗词歌赋中举的人地位高。但是,唐代对古代算书的整理以及算学知识的普及却为宋元数学的发展奠定了基础。
宋元时期,社会相对稳定,经济稳步发展,特别是工商贸易的发达,对实用数学知识的渴求,为数学发展创造了条件。当时出现了许多“捷法”和“歌诀”等,以帮助人们迅速掌握各种记算方法。另外,在这一时期,印刷术已得到广泛应用,并且发明了活字印刷,促进了数学著作的刊印。宋元丰七年(公元1084年),秘书省刊刻了十部算经,作为学校的课本,这是印刷本算书在我国首次出现。当时数学家撰写的数学著作大都能在成书不久就刊印行世。数学著作凭借印刷术得以空前广泛地流传。在这种背景下,宋元数学研究掀起了又一次高潮,特别是在13世纪下半叶,涌现出了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等一批杰出的数学家,一时间群星闪烁,成就辉煌,可以说是中国古代数学发展中一个登峰造极的阶段。11世纪上半叶贾宪《黄帝九章算经细草》的问世,标志着我国算法系统在代数学上的飞跃,书中创造的求高次方程系数的“开方作法本源图”(贾宪三角)和增乘开方法超越其他民族几个世纪。差不多同时期的沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术,开创了高阶等差级数求和这一新的分支,还提出了弓形弧长的近似公式。蒋周著的《益古集》用二次方程解决圆的各种关系问题,对天元术的发展也做出了贡献。12世纪刘益的《议古根源》再次引入负系数方程,并创造了益积开方术和减从开方术,南宋杨辉称之为“实冠前古”。南宋时期,由于宋辽、宋金、宋元在政治上长期南北对峙,因此数学研究也形成了南北两个中心。南方中心以秦九韶、杨辉为代表,以高次方程数值解法、同余式解法及改进乘除捷法为主要研究对象。秦九韶的著作是《数书九章》,其中有两项举世瞩目的重要成就,一个是首次系统解决了一次同余式组的解法,一个是提出了求高次方程正根的完整方法。杨辉的著作很多,主要的有《详解九章算法》和《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》。后三部是杨辉晚期作品,后世合称《杨辉算法》。在杨辉的著作中,收录了不少现已失传的各种数学著作中的算题和算法,如贾宪的“增乘开方法”和“开方作法本源图”等,并且在二阶等差级数和乘除简捷算法上都取得了很高的成就。北方数学中心以李冶为代表,以列高次方程的天元术及其解法为主要研究对象。李冶在前人的基础上,系统地总结了天元术。他的《益古演段》和《测圆海镜》是现存最早讲述天元术的著作,前者是为初学天元术的人写的入门著作;后者则借助勾股、方圆等几何关系建立高次方程,从而全面系统地介绍天元术的理论和算法,其中丰富的几何内容和演绎推理的倾向为古代数学著作中罕见。元统一中国后,南北数学的交流就成了顺理成章的事。朱世杰就生活在这一环境下。他有两部著作,《算学启蒙》是一部数学启蒙读本,包括了从乘除捷法到增乘开方、天元术、高阶等差级数求和等当时数学各方面的内容;《四元玉鉴》是朱世杰的成名作,其中介绍了二、三、四元高次方程的布列和解法,并在高阶等差级数求和问题上有重大突破,两项成就都早于西方数百年,成为宋元数学高峰的代表作。
从明代开始,中国古典数学开始衰落,当时的数学著作也不少,但在创造性上远不及宋元算书。不过,这一时期的数学仍有两件影响深远的大事。一件是1408年编修《永乐大典》,将明代以前的数学著作分类抄入,许多数学著作都赖此才得以留传到今天。另一件是随着筹算简捷算法的日臻完备,珠算法也得到了发展和普及。如吴敬的《九章算法比类大全》、王文素的《通证古今算学宝鉴》、朱载堉〔yu育〕的《算学新书》等,除了介绍筹算方法外,都提到了珠算。特别是程大位于公元1592年写成的《算法统宗》,系统地介绍了算盘的使用方法,曾风行一时,流传甚广。
明朝末年,西方数学传入,开始了中西数学融会贯通的新阶段。清代的数学著作非常多,据有人初步统计,中算家有600多人,著作在千种以上。但是,从总体水平上看,已经落后于西方。
《九章算术》及《九章算术注》
《九章算术》唐宋间又称《九章算经》、《黄帝九章算经》,是中国古代最重要的数学经典。据魏晋间刘徽《九章算术注》序载,西汉时数学家张苍、耿寿昌在秦始皇焚书劫余的残篇的基础上,对该书进行了增订删补。现代研究者认为,《九章算术》并非出自一人一世之手,而是数代人辛勤努力的结晶,最后成书当在西汉末到东汉初年。在中国,该书在千余年间被直接用作数学教育的教科书;它还影响到国外,朝鲜和日本都曾用它当过教科书。
《九章算术》共收集246个应用题,按问题的性质类别分为九章。各章的次序和内容是:1.方田,是关于土地面积的计算,包括矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积的计算。由于计算面积要用到分数,因此这一章还系统讲述了分数的运算。2.粟米,讲的是比例问题,特别是如何按比例交换各种谷物等。3.衰分,是按等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配问题。4.少广,是由已知面积和体积,求几何体一边的长,讲的是由田亩计算引出的开平方和开立方的方法。5.商功,包括了各种工程中体积的计算,以及人工的合理安排问题。6.均输,是计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件,按比例合理摊派税收和派出民工的问题。7.盈不足,是关于算术中盈亏问题的解决,称“盈不足术”。此章中也涉及比例问题。8.方程,主要是关于线性方程组的问题。9.勾股,是关于各种测量和几何计算中勾股定理的应用。
《九章算术》的主要部分采取了以算法统率应用题的形式,即或先列出几个例题,再给出抽象性的术文,此时例题一般只有题目、答案;或先给出抽象性的术文,再列出例题,此时例题一般有题目、答案和具体术文。在九章中,有近百个普遍性公式和解法,已包括现在中小学数学的相当大的一部分内容。如在分数的四则运算、比例、面积和体积、开平方、开立方、正负数、一次方程组、二次方程、勾股定理等方面,书中都有较完备和详细的叙述。
对于分数的运算,我国很早就进行了深入的研究。《周髀算经》的天文计算中就已经有相当复杂的分数运算,但由于没有把约分工作做好,所以算草比较繁复。而在《九章算术》中则给出了包括约分、通分、四则运算等在内的一整套分数运算法则。如书中用“更相减损”术求最大公约数,指出如果分子、分母可以被2整除,就都先除以2,不能被2整除的,则以分母和分子相减,一直减到减数和被减数相等,此数即为最大公约数。这种方法和现代算术中的辗转相除法基本一致,而当时,除了我们的祖先,只有希腊人知道这个方法。《九章算术》是世界上最早系统叙述分数运算法则的著作,类似的著作,印度迟至公元7世纪才出现,而欧洲则在15世纪以后才逐渐形成现代分数的算法。
《九章算术》方程章中的方程术,也就是线性方程组的解法,可以说是这部经典中最杰出的成就。由于中国古代使用算筹表示各项数字,因而书中采用了分离系数法表示方程,相当于现在的矩阵。在解方程中,它所使用的方法叫“直除法”,和现在通用的加减消元法基本一致,是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在欧洲,到17世纪莱布尼兹才提出线性方程组的完整解法,比我国要晚15个世纪还多。在列方程移项、合并同类项(损益术)和消元过程中会出现负数。《九章算术》在这部分中首次引入了负数概念,并提出了正负数的加减法则,而且在实际运算中进行了正负数的乘除。在世界数学史上,这是第一次突破了正数范围,扩充了数系的概念。
“今有(数人)共买物,(每)人出(钱)八,盈三;(每人)出(钱)七,不足四。问人数、物价各几何?”这是《九章算术》盈不足章的一个应用题。书中创造性地应用了两次假设法,来解决这类问题。设人数为x,物价为y;每人出钱为a1,盈为b1;每人出钱为a2,不足为b2,则有下列等式:
这种方法被称为“盈不足术”,书中用它解决盈亏问题和一些数学杂题。“盈不足术”在大约公元9世纪传到阿拉伯,被称为“中国算法”,相同的方法西方直到13世纪才首次在意大利数学家斐波拿契的著作中出现。
形与数密切结合,是《九章算术》的一个重要特色。在勾股章中,几何问题都依据勾股定理来解决,提出了几何图形的面积、体积和测量“高、深、广、远”等问题的解法,反映了当时测量数学的发达以及地图测绘的水平。在计算面积和体积问题时,要遇到许多开方计算。在《九章算术》少广章中,给出了开平方、开立方的方法,它们和现今的开方法基本一致,是世界上最早的开方程序。需要指出的是,用算筹列出几层来进行开平方和开立方的运算,相当于列出一个二次或三次的数字方程,即用上下不同的各层表示一个方程各次项的系数。勾股章有一测望问题就归结到开带从平方,即解二次方程。后来,求解高次方程的正根都称为“开方”,成为中国古代数学中最发达的领域。
《九章算术》取得的数学成就是全面的、杰出的,奠定了它在中国古代数学中的崇高地位,称它为中国算经之首是毫不过分的。该书对以后的数学著作产生了极其深远的影响。从内容上讲,《九章算术》的九部分内容确定了中国古代数学的基本框架,形成了中国古代数学以计算为中心的特点;九章246个问题,大都来自人们生产、生活的实际需要,开创了数学理论密切联系实际的风格;全书没有任何数字神秘主义的内容,体现了朴素的唯物主义观点,并为以后的数学著作树立了榜样。从全书结构上讲,《九章算术》一般有“题”、“答”、“术”三个部分,这种以术统题的方法,逐渐形成了中国古代数学著作的一种基本形式。《九章算术》以后,中国古代数学著作主要采取两种模式,一种是以该书为楷模编写新的著作,一种是为该书作注。
提到为《九章算术》作注,就不能不提到刘徽。刘徽是我国古代一位非常杰出的数学家,生活在公元3世纪。由于《九章算术》产生年代较早,又非出自一人一世之手,所以也有着自身的缺欠。如文字简奥、部分内容抽象程度不高,还有对问题只给出解法和答案,缺乏必要的解释和证明等。刘徽从幼年开始,就反复研究《九章算术》,后来他采集前人研究成果,并融入自己的数学心得,写成了《九章算术注》一书,对《九章算术》进行了全面的解释和论证。
刘徽是我国古代数学理论的奠基者。他在《九章算术注》的序中说:“事类相推,各有攸(所)归,故枝条虽分而同本干者,知发其一端而已。”意思是说有许多数学问题,表面上看不相同,但在理论上却有着共同的根源。这种逻辑推理思想,在中国古代数学发展中极为重要。在解释和论证数学问题时,他认为要“析理以辞,解体用图”,既要有语言论述,也要结合图形进行直观的证明。这种数与图结合的方法是中国古代数学证明的一种独特的方法。
刘徽注在数学史上的另一大贡献是用“割圆术”求得圆周率π值。中国古代很长一段时间π值取的是3。刘徽认为这只是圆内接正六边形周长与直径的比率,是不正确的。他首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆面积,而将边数屡次加倍后,面积也相应增大,边数越多,那么圆内接正多边形的面积就越接近圆面积。他写道:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。”这句话反映了刘徽的极限思想。从计算圆内接正六边形面积开始,刘徽依次计算圆内接正十二、二十四、四十八……一百九十二边形的面积,得到圆周率近似于3.14。据说他还不满意,又继续推算出π=3927/1250(相当于3.1416)的数值,这是当时世界上圆周率的最佳数值。从理论上讲,利用刘徽注中的方法可以将圆周率计算得非常准确。研究者们一般认为,南朝祖冲之在《缀术》中将圆周率精确到八位有效数字,即3.1415926和3.1415927之间,就用了刘徽的方法。刘徽的方法奠定了我国圆周率计算在世界上领先千年的基础。
刘徽注对数学的贡献还有许多方面。如它发展了《九章算术》的率概念,定义率为“凡数相与者谓之率”,即数与数相互关联为率,并讨论了率的性质,用率理论论述了《九章算术》的大部分内容。书中认为今有术是普遍方法,九章中的许多问题的解法都可以归结到此术。今有术即比例方法,已知比例式中的三项求第四项,例如a:b=c:d,已知a、c、b,则d=bc/a。这种方法古代印度也有(三率法),但有关记载要晚于《九章算术》,16世纪该法由阿拉伯人传入欧洲,在商业上得到广泛应用,被誉为黄金法则。另外,刘徽注中对求弧田面积、圆锥体积、球体积、十进分数、解方程等问题,以及对分数性质的论述、正负数的定义等,都有独到的见解。
刘徽的注,修正了《九章算术》中的错误,发展了其中的数学理论,充实和完善了《九章算术》的数学体系,是所有为《九章算术》作注的著作中最重要的一部。
《数书九章》
南宋秦九韶撰写的《数书九章》是中国古代重要的数学著作,宋元数学高潮的代表作之一。
秦九韶(约公元1202—约1261年)字道古,自称为鲁郡(今山东曲阜、兖州一带)人,生于普州安岳县(今四川安岳县),是南宋著名的数学家、天文学家。他18岁就当过义兵的首领,但后来在仕途上却历经曲折。秦九韶自幼聪明好学,而且兴趣广泛。他对于天文、音律、算术、营造等都有深入的研究,至于游戏、弓马、踢毬、剑术等,对他来讲也是驾轻就熟的。可以说秦九韶是一个不可多得的通才,这对于他以后博采众长、触类旁通,在数学上取得巨大成就,不能说没有影响。公元1247年,秦九韶总结了自己多年数学研究的心得,写成《数书九章》。
《数书九章》,又名《数术》、《数术大略》、《数学大略》、《数学九章》等,《数书九章》的书名是明代后期才出现的。至于原来的书名到现在还不能确定。该书写成后没有马上刊印,仅有抄本流传,明代将它分类辑入《永乐大典》,清代又从《永乐大典》中抄出,收入《四库全书》。另有一部自明文渊阁辗转传抄出的本子,经沈钦裴、宋景昌汇集各家注释并进行校勘,于清道光二十二年(公元1842年)由上海郁松年刻入《宜稼堂丛书》,是最为流行的版本。
《数书九章》全书81问,分为九大类,每类各九问。九大类分别是:1.大衍类,叙述“大衍求一术”并用之解决各种实际问题;2.天时类,有关历法制定、天象测算、计算降雨降雪量等的数学问题,其中的天池盆是世界最早的雨量器;3.田域类,是关于各种形状的田地面积的计算,反映了江南人民围海、围湖造田等活动;4.测望类,讨论勾股测量,涉及测望山、水、城、塔和敌军的远近以及古迹的修复等问题;5.赋役类,是关于田赋、户税问题的计算,反映了南宋赋税的实际情况;6.钱谷类,是关于粮食转运和仓库容积问题,设计了由于南宋各地加大量器、增加田租造成器量混乱而带来的数学计算问题,还记载了南宋发行世界上最早的纸币会子及新旧会子的兑换情况;7.营建类,解决的是工程施工中的数学计算,其中计造清台问是世界上现存最早的天文台设计图;8.军旅类,是关于营盘布置、测算敌方人数,以及军需供应等方面的问题,这和当时宋金、宋元战事激烈有关,有为战争服务的目的,在古代算书中比较少见;9.市易类,处理商业贸易和利息计算等问题,保存了许多南宋商品交易和相关政策的史料。
从《数书九章》的分类和内容上看,很明显,它受《九章算术》的影响是深刻的,与现实生活有着紧密的联系,反映了当时社会经济、文化、政治、科学技术等各种活动的一个侧面。秦九韶在本书的自序中曾说:数学“大则可以通神明,顺性命,小则可以经世务,类万物”,将数学提到了极高的地位。但是,他将数学与世界本源联系起来,认为“数与道非二本也”,又说明他受到了当时理学思想和象数学的影响。
“大衍求一术”是秦九韶最得意的杰作,也是中国古代数学的一项伟大成就,因此秦九韶将它放在该书的首位是非常合适的。早在公元4世纪前,《孙子算经》中提出过这样一个问题,用现在的话说就是:有一个数,用3除它余2,用5除它余3,用7除它余2,求这个数。这就是著名的“孙子问题”,也是一个一次同余式组的问题。在中国古代历法中推算上元积年,也遇到了解同余式组的问题。对于这类问题,《孙子算经》给出的解法过于简略,而历法中也没有形成系统的算法,甚至误认为是线性方程组的解法。直到秦九韶的《数书九章》才首次比较系统地解决了这类问题。秦九韶方法的关键是用“奇数”和“定数”辗转相除及一整套计算程序,求出满足要求的“乘率”。因为计算“乘率”的辗转相除要直到最后余数为1时止,所以秦九韶把它称为“求一术”。在秦九韶的问题中,数据可以是整数,也可以是分数、小数,他都给出了相应的化解程序。总之,秦九韶在世界上第一次系统地解决了一次同余式组问题,而且计算步骤相当严密。过了500多年,欧洲的尤拉和高斯等人才对联立一次同余式进行了较为深入的研究。“大衍求一术”被介绍到西方后,引起了欧洲学者的高度重视。西方数学史家称这一定理为“中国剩余定理”,德国著名数学史家康托称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。
在该书的第二——九类,秦九韶使用了《九章算术》以来的许多数学方法,并有创造性发展,其中最重要的是求高次方程正根的正负开方术。在我国古代,解一般高次数字方程叫做“开方”,《九章算术》中就已经记载了开平方和开立方的方法,后来一般的二次方程和三次方程的数值解法,分别被称为“开带从平方”和“开带从立方”,就是因为它们都是从开平方和开立方的方法中推衍出来的。开方术在宋代取得了重大发展。首先是贾宪创造了“增乘开方法”,通过随乘随加的方法,可以求出高次方程的正根。12世纪刘益又引入负系数开方,方程的系数可正可负,取消了方程系数只允许为正整数的限制。到了南宋,秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”,也就是利用随乘随加逐步求出高次方程正根的一套完整的程序。在秦九韶的方法中,除因运算需要规定“实”(常数项)常为负之外,没有任何限制,是任意高次方程的一般解法,和现在求高次数字方程正根的方法基本一样。而现代算法是意大利人鲁斐尼在1804年和英国人霍纳在1819年提出的,也就是人们熟知的鲁斐尼—霍纳方法,比秦九韶晚了600多年。秦九韶还发挥了刘徽创造的继续开方计算“微数”的思想,开方到无理根时,用十进小数作无理根的近似值,这也是世界数学史上最早的贡献。
《数书九章》的数学成就还表现在更多方面。在方程术上,也就是线性方程组的解法上,它使用了互乘相消法,即让两个方程的x项系数互乘各方程,用一次相减就可以达到消去x项的目的。这种方法免去了直除法连续相减的麻烦,和今天人们普遍应用的方法完全一样。该书中还将《九章算术》和《海岛算经》中的测望之术发扬光大,对勾股、重差问题有许多创造发明。特别值得一提的是“三斜求积公式”,即用三角形三边求面积的公式,它和西方的海伦公式是各自独立发明的,却又不谋而合。另外,《数书九章》中对自然数、分数、小数、负数都有专条论述,并有所发展,是研究中国古代记数法的重要资料。
《数书九章》的数学成就远远超过了在此之前的数学著作,仅就一次同余式组解法和高次方程数值解法两项来说,已代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平,是中国数学史上光彩夺目的一页。
《四元玉鉴》
元代朱世杰著的《四元玉鉴》是宋元数学高潮的又一部代表作,在中国古代数学史上有着重要地位。
朱世杰(生卒年不详),字汉卿,自号松庭,家住燕山,也就是今天的北京附近。元朝统一中国后,结束了南北对峙的局面。朱世杰曾在全国各地周游20多年,一面进行数学研究,一面从事数学教育活动。通过长期和广泛的游历,他对南北数学研究所取得的成就都有深入的了解,成为身兼两个数学中心之长的著名学者。当朱世杰游至扬州时,四面八方来向他学习的人日益增多。为了满足学员的要求,他便开始著书,以供学员们使用。公元1299年,他写成《算学启蒙》,由赵元镇刊刻印行。1303年,《四元玉鉴》完成,也由赵元镇刊印。
《四元玉鉴》全书三卷,共24门,288问。书首先给出四种图;古今开方会要之图,给出了增乘开方法的图示和九层八次方的贾宪三角;四元自乘演段之图、五和自乘演段之图、五较自乘演段之图则是图示处理几何问题时立方程的各个步骤。四图之后是假令四草,给出了一气混元、两仪化元、三才运元、四象会元四个例题,分别阐述天元术、二元术、三元术、四元术的解题模式。这些图和例题都是为了举例发凡,是统御全书的纲纪。在全书其他各问中,朱世杰没有再记出任何一题的算草。这种写作形式在中国古代数学著作中是一种独特的创造。之后是各卷内容。上卷六门:1.直段求源,关于勾、股、弦的计算问题;2.混积问元,田亩面积问题;3.端匹互隐,有关绫、罗等纺织品的各种计算;4.廪粟回求,谷物容积问题;5.商功修筑,工程建筑问题;6.和分索引,关于分数的各种运算。中卷10门:1.如意混和,把性质不同的问题混和以增加问题难度;2.方圆交错,有关方、圆的混合问题;3.三率究圆,以古率π=3、微率157/50、密率22/7计算有关圆与球的问题;4.明积演段,与勾股形(直角三角形)有关的各种计算;5.勾股测望,用勾股定理及相似勾股形测算距离;6.或问歌彖〔tuan〕,以诗歌形式给出的问题;7.茭草形段,垛积问题;8.箭积交参,关于方箭、圆箭的垛积问题;9.拨换截田,截割田亩的面积问题;10.如象招数,招差术问题。下卷八门:1.果垛叠藏,垛积问题;2.锁套吞容,相互交错的图形的面积计算;3.方程正负,线性方程问题;4.杂范类会,是各种杂题;5.两仪合辙,关于勾股及面积的二元二次方程组;6.左右逢元,关于勾股及面积的二元高次(三次以上)方程组;7.三才变通,关于勾股问题的三元方程组;8.四象朝元,关于勾股问题的四元方程组。
在《四元玉鉴》中,几乎所有问题都与方程或方程组有关,其中主要记载了朱世杰的伟大创造——四元术。我们知道,用解方程的方法解决实际问题,一般来说都需要两个步骤。首先是列出含有未知数的方程,然后才是解方程求出它的根来。列方程,古代称“造术”,这对于今天具备初等数学知识的人来说是轻车熟路,然而在天元术未出现以前,却并不简单。当时数学家们列方程只有借助文字叙述,非常复杂。金元之际,北方出现了一批有关天元术的著作,李冶的《测圆海镜》是现存最早系统论述天元术的著作。所谓“天元术”,实际上是列方程的一种代数方法。天元术中“列天元一某某”,就是“设x为某某”的意思,方法是在筹算的一次项旁写上“元”字,或在常数项旁写上“太”字。天元术的出现解决了一元高次方程的列方程问题。据记载,李德载的《两仪群英集臻》和刘大鉴的《乾坤括囊》分别对二元术和三元术作了研究,但他们的著作都没有流传下来。流传至今并将其发展成四元术的是朱世杰的《四元玉鉴》。四元术用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。它是在常数项右侧记一“太”字,天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列在“太”字的下、左、右、上,相邻二未知数和它们的乘幂的积的系数,记入相应的两行相交的位置上,不相邻的几个未知数的积的系数,记入相应的夹缝中。这实际上是多元高次方程组的分离系数表示法。朱世杰还创造出一套完整的消未知数方法,称为四元消法。通过逐次消元,最后得到只含一元的方程式,然后用增乘开方法求正根。虽然由于受到筹算的局限,朱世杰只达到四元高次方程,但这一成果却在世界上长期处于领先地位。直到18世纪法国数学家别朱才系统叙述了高次方程组消元法问题。
垛积招差术,即高阶等差级数求和,是《四元玉鉴》中的另一项重大成就。它们主要被记载于茭草形段、如象招差、果垛叠藏三门中。关于垛积的研究,最早的要算是沈括,在《梦溪笔谈》中,他为计算用酒坛堆积的长方台的酒坛数,提出了一个新的计算公式——隙积术,其后杨辉又给出了三角垛、方垛、果子垛等公式,但这些公式实际上可以看成沈括隙积术的特例。到了朱世杰,垛积术的研究出现了全新的局面。《四元玉鉴》中的垛积公式共有三大类:1.三角形,包括茭草垛、三角垛(或称茭草落一形垛)、三角撒星形垛(或称三角落一形垛)、三角撒星更落一形垛;2.岚峰形,包括四角垛、岚峰形垛、三角岚峰形垛(或称岚峰更落一形垛);3.值钱形(垛积物的价格逐层递增或递减),包括茭草值钱正垛、茭草值钱反垛、三角值钱正垛、三角值钱反垛、四角值钱正垛、四角值钱反垛。三类中,三角形垛积公式是最基本的。由于朱世杰在书前的贾宪三角中增加了平行于两斜边的连线,再加上他用“落一”、“更落一”表示几种三角垛积的关系,所以,人们认为朱世杰已掌握了一般三角形垛的求和公式。同样道理,朱世杰也掌握一般岚峰形垛的求和公式,而第三类公式可以从前两类公式推导而出。
《四元玉鉴》中的招差问题和垛积问题互为表里,也是该书最精彩的部分之一。在朱世杰以前,招差问题是独立发展的一门知识,它和我国古代历法中计算天体运行有着密切关系。公元206年,刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插法计算月亮的变速运动,隋初刘焯《皇极历》中使用了二次内插法,到元代郭守敬等人已采用三次差分的内插法原理计算日月五星的运动。而朱世杰则将垛积和招差联系起来,在世界上第一次给出了包括四次差的内插公式。书中明确指出,公式中的各项系数是三角垛的积。由于朱世杰已经掌握了三角形垛的构造规律,所以一般认为他已得到任意高次的内插法公式。在欧洲,直到17世纪格列高里、牛顿等人才取得同样的结果。
除了上述成就外,朱世杰的创造性工作还表现在几乎全书的每一门中。例如,他突破了有理式的限制,开始讨论无理方程。又如,在几何学上,他在传统的勾股和体积、面积的计算的基础上,进一步研究了勾股形和圆形内各几何元素的关系,使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部,体现了数学思想的进步。
《四元玉鉴》写成的时候,社会上对算学十分尊崇,所以受到重视。明代以后,该书被人们所忽视,到了几乎失传的地步。清朝嘉庆年间,阮元在浙江访得《四元玉鉴》抄本,送交四库馆,后来何元锡将抄本刊印。该书重新刊印后,许多数学家对它进行过研究,其中以罗士琳的《四元玉鉴细草》影响最大,以后的许多版本都源于此书。